「ZROI 2018」提高组十连测

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Day1

A. 「ZYB建围墙」

$20\sim 40\ \text{pts}\quad n\leqslant 10\sim 20$

  结合样例和图示手算一下。

$100\ \text{pts}\quad n\leqslant 10^9$

  显然，如果房子数量恰好能填充满一整个正六边形，那么在这个正六边形外面围一圈肯定是最优的。
  那么我们只要考虑：在正六边形的基础上如果要增加一个房子，我们只要多使用长度为 $1$ 的墙就可以将一条边向外扩展一层（相邻两边的长度均增加 $1$，扩展的边长度减少 $1$）。
  再考虑向外扩展后一层后，能多围的房子数量。假设当前正六边形的边长为 $x$，那么扩展 $6$ 次（每次扩展不同的边），每次的增加量分别是 $x-1$，$x$，$x$，$x$，$x$，$x+1$（很显然，连续扩展 $6$ 次后正好又是下一个正六边形了）。
  那么，我们只要不断尝试增加边长 $x$，当 $x$ 恰好小于 $n$ 时（下一个边长围成的面积大于 $n$），贪心选择扩展次数。当围成的面积等于 $n$ 时需要特判！

  时间复杂度：$\Theta(\sqrt{n})$

代码

#include <cstdio>
#define quit(a) return printf("%d\n",a),0
int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;;++i) {
        if(3*i*(i-1)+1==n) quit(6*i);
        if(3*(i+1)*i+1>n) {
            int now=3*i*(i-1)+1;
            int ans=6*i;
            if(now+(i-1)>=n) quit(ans+1); else now+=i-1;
            if(now+i>=n) quit(ans+2); else now+=i;
            if(now+i>=n) quit(ans+3); else now+=i;
            if(now+i>=n) quit(ans+4); else now+=i;
            if(now+i>=n) quit(ans+5); else now+=i;
            if(now+(i+1)>=n) quit(ans+6); else now+=i+1;
        }
    }
    return 0;
}

B. 「ZYB和售货机」

$10\ \text{pts}\quad n\leqslant 5$

  枚举每个按钮按几次，判断合法性后更新答案。

$100\ \text{pts}\quad n\leqslant 10^5$

  我们首先考虑一个问题：物品是否一定能被选完？

  对此，我们只考虑 $f_i\leqslant i$ 的情况（原因会在正解中解释）。如果我们从 $i$ 向 $f_i$ 连一条有向边，这显然是一个由根是自环的树组成的森林。而且每棵树的边都是朝向根的方向的！
  有向边 $(x,y)$ 有意义当且仅当物品 $x$ 存在且 $y$ 可以被选择。因为边都是朝上的，那么我们从根向子树考虑，发现对于每个节点，其儿子肯定能把它的物品取空（因为每个儿子向父亲取物品，对应的 $a[i]$ 不变）。因此 每一个物品都能被取完。严格地说，每个非叶子节点的物品都能被取完。

  如果取消 $f_i\leqslant i$ 的限制，那么形成的有向图是若干 基环内向树（基环树且树上的边都向上）。
  现在我们只要考虑这个环。如果存在环上的一个点 $x$，按下这个按钮获得的收益不如另一条连向 $f_x$ 的树边，那么我们就直接把这条环边断开。这样就化为了树的做法，统计一遍即可。
  如果不存在这样的点，那么我们就找一个环边价值和树边价值的差最小的点，强制它不能选择环边，统计答案即可。
  实际上，我们只要记录到每个节点的最大和次大的边。$\text{DFS}$ 过程中，默认接上最大边的值，维护最大边和次大边的差的最小值。找到环之后，我们显然要断掉环——使连向某个点的边改变（从默认的最大变成次大），此时只要减去维护的最小值即可。

  时间复杂度：$\Theta(n)$

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N=100005;
int n,idx,mn,f[N],c[N],d[N],w[N],a[N],mx[N],secmx[N],dfn[N];
long long ans;

void dfs(int x) {
    if(dfn[x]==idx) {
        ans-=mn;
        return;
    }
    if(dfn[x]) return;
    dfn[x]=idx;
    if(mx[x]) {
        ans+=1LL*w[mx[x]]*a[x];
        mn=std::min(mn,w[mx[x]]-w[secmx[x]]);
        if(mx[x]^x) dfs(mx[x]);
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d%d%d",&f[i],&c[i],&d[i],&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        w[i]=d[f[i]]-c[i];
        if(w[i]<0) continue;
        if(w[i]>w[mx[f[i]]]) {
            secmx[f[i]]=mx[f[i]];
            mx[f[i]]=i;
        } else if(w[i]>w[secmx[f[i]]]) {
            secmx[f[i]]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) mn=(1<<30),idx++,dfs(i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

C. 「ZYB玩字符串」

$20\sim 40\ \text{pts}\quad |S|\leqslant 8\sim 20$

  怎么暴力怎么写 QAQ

$100\ \text{pts}\quad |S|\leqslant 200$

  观察删除 $p$ 的过程，虽然一个完整的 $p$ 可能被截成若干段，但是对于夹在中间的每一段，一定是能被独立删去的。
  我们用$f[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 是否合法。

• 如果 $len_p|(j-i+1)$，那么 $f[i][j]$ 表示是否能用 $p$ 把这段区间删光。
• 否则，$f[i][j]$ 表示多余的部分是否恰好为 $p$ 的前缀。

  具体转移过程（考虑第 $j$ 个字符）：
   如果它和之后的零碎字符拼成一段，那么

$$f[i][j]=f[i][j]\text{ or }(f[i][j-1]\text{ and }s_j=p_{(j-i)\bmod len+1})$$
   如果对于后面零碎部分而言， $j$ 属于夹在中间的整块，那么
$$f[i][j]=f[i][j]\text{ or }(f[i][j-k\times len]\text{ and }f[j-k\times len+1][j])$$
  这样的转移过程，看似复杂度是 $\Theta(|S|^4)$ 的，但是对每个 $p$，先判断字符集的合法性，加入一些可行性或最优性剪枝，复杂度是很不满的。

  时间复杂度：非常不满的 $\Theta(|S|^4)$

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;

int T,n,f[205][205],sz[305],cnt[305];
string s,t;

bool check(int len) {
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    FOR(i,1,len) ++cnt[(int)t[i]];
    FOR(i,0,300) {
        if(!sz[i]&&!cnt[i]) continue;
        if((sz[i]&&!cnt[i])||sz[i]%cnt[i]) return 0;
    }
    return 1;
}
int dfs(int len,int l,int r) {
    if(~f[l][r]) return f[l][r];
    if(l>r) return f[l][r]=1;
    for(int i=r-len;i>=l;i-=len) {
        if(dfs(len,l,i)&&dfs(len,i+1,r)) return f[l][r]=1;
    }
    if(s[r]==t[(r-l)%len+1]) return f[l][r]=dfs(len,l,r-1);
    return f[l][r]=0;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    for(cin>>T;T;--T) {
        cin>>s;
        n=(int)s.size(); s=' '+s;
        memset(sz,0,sizeof(sz));
        FOR(i,1,n) ++sz[(int)s[i]];
        string ans=s;
        FOR(len,1,n) {
            if(n%len||len>(int)ans.size()-1) continue;
            FOR(i,1,n-len+1) {
                t=' '+s.substr(i,len);
                if(!check(len)) continue;
                memset(f,-1,sizeof(f));
                if(dfs(len,1,n)) {
                    if(t.size()<ans.size()) ans=t;
                    else if(t.size()==ans.size()) ans=min(ans,t);
                }
            }
        }
        ans.erase(ans.begin());
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}

---