题意

给出一个 $n$ 的点的环， $m$ 条线，每条线连接环上的点。线可以从环内部连接也可以从环外部连接。求能否使得这 $m$ 条线不相交。

题解

首先要知道一个引理：如果两条线从环都从内部连接相交的话，那么他们从外部连接一样会相交。
有了这个引理，为了让两条原本相交的线 $l_a、l_b$ 变得不相交，就必须然们一条从内部连接，一条从外部连接。
设布尔变量 $a、b$ 表示直线 $l_a、l_b$ 的连接情况，当其取1的时候表示从内部连接，取0表示从外部连接。
根据上面的推理，就有 $a \lor b = 1, a \land b = 0$ 的逻辑表示。
通俗来讲，就是两条线一条从外部连接，一条从内部连接。
再推理，就可以得到：

如果 $l_a$ 从外部，那么 $l_b$ 一定从内部，反之也成立。
如果 $l_b$ 从外部，那么 $l_a$ 一定从内部，反之也成立。

建立2-sta的模型，用4条有向边来表示上面的逻辑推理。
之后利用tarjan算法缩点，因为题目只需要判断是否有解，所以只需要判断原变量和反变量是否在一个强连通分量中，若在的话，问题无解，反之一定有解。

最后一点，如何判断两条线是否相交呢？这个问题其实画画就出来了。
设 $l_{a_x}、l_{a_y}、l_{b_x}、l_{b_y}$ 分别表示两条线的两个端点编号，并且有 $l_{i_x} \le l_{i_y}$ 。
如果有下面几种情况之一，即可判断两条直线相交：

$l_{a_x} \le l_{b_x} 且 l_{a_y}\ge l_{b_x} 且l_{a_y} \le l_{b_y}$
$l_{b_x} \le l_{a_x} 且 l_{b_y} \ge l_{a_x} 且l_{b_y}\le l_{a_y}$
$l_{a_x} \ge l_{b_x} 且 l_{a_x} \le l_{b_y} 且l_{a_y} \ge l_{b_y}$
$l_{b_x}\ge l_{a_x} 且 l_{b_x}\le l_{a_y} 且l_{b_y} \ge l_{a_y}$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int nmax = 1e5 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ull p = 67;
const ull MOD = 1610612741;
int n, m, cnt;
typedef pair<int , int > pii;
pii line[nmax];
struct edge {
    int to, nxt;
};
struct graph {
    int tot, head[nmax];
    edge e[(int)1e6 + 7];
    void init() {
        tot = 0;
        memset(head, -1, sizeof head);
    }
    void add_edge(int u, int v) {
        e[tot].to = v;
        e[tot].nxt = head[u];
        head[u] = tot ++;
    }
}g;
inline bool checkcross(pii a, pii b) {
    if(a.first <= b.first && a.second >= b.first && a.second <= b.second)
        return true;
    else if(b.first <= a.first && b.second >= a.first && b.second <= a.second)
        return true;
    else if(a.first >= b.first && a.first <= b.second && a.second >= b.second)
        return true;
    else if(b.first >= a.first && b.first <= a.second && b.second >= a.second)
        return true;
    else
        return false;
}
int dfn[nmax], low[nmax], dfs_clock, color[nmax], scc;
int ss[nmax], st;
bool instack[nmax];
void tarjan(int u, const graph & g) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfs_clock;
    ss[st++] = u;
    instack[u] = true;
    for(int i = g.head[u]; i != -1; i = g.e[i].nxt) {
        int v = g.e[i].to;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v, g);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else if (instack[v]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u] == low[u]) {
        scc++;
        int tmp;
        while(true) {
            tmp = ss[--st];
            color[tmp] = scc;
            instack[tmp] = false;
            if(tmp == u)
                break;
        }
    }
}
bool check() {
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        if(color[i] == color[i+m])
            return false;
    }
    return true;
}
void init() {
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    memset(low, 0, sizeof low);
    memset(color, 0, sizeof color);
//    memset(instack, 0, sizeof instack);
    scc = dfs_clock = st;
    g.init();
}
int main(){
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        init();
        int a, b;
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            scanf("%d %d", &a, &b);
            if(a < b) {
                line[i].first = a;
                line[i].second = b;
            } else {
                line[i].first = b;
                line[i].second = a;
            }
        }

        for(int i = 1; i <= m ;++i) {
            for(int j = i + 1; j <= m; ++j) {
                if(checkcross(line[i], line[j])) {
                    g.add_edge(i, j + m);
                    g.add_edge(i + m, j);
                    g.add_edge(j, i + m);
                    g.add_edge(j + m, i);
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= 2 * m; ++i) {
            if(!dfn[i])
                tarjan(i, g);
        }
        if(check()) {
            printf("panda is telling the truth...\n");
        } else {
            printf("the evil panda is lying again\n");
        }
    }

    return 0;
}

【算法练习】POJ - 3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick （2-SAT）

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