分块的概念与运用
通过适当的划分，预处理一部分信息并保存下来。
用空间换取时间，达到时空平衡。易实现。
【例题1】单点修改+区间查询
SOLUTION1
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将查询区间分成中间整块+零散两边，此时两部分都在根号n范围。
简单来说就是大部分分块，小部分暴力。
分块时：块的大小为根号n，建立每个位置对应的块的编号。
修改时：直接修改值和相应块的值。（单点修改）
用getStart函数求出每分块的第一个。
注意写getEnd函数时，要写 min（n,getStart[k+1]-1）。
↑↑ getEnd（4）的正确答案应该是10。
- 为什么块数是根号n（或根号n+1）？
- 答：每段长为s，块数是n/s。查询区间最大为n/s+2s（零散块）。
- 数学方法可以求得，s最优为根号n，n/s=根号n。（如下图）
文字版理解
代码实现
c[]
int size = (int)sqrt(n);
int getBlock(int x) { // 1-based
return (x - 1) / size + 1;
}
int getStart(int b) {
return (b - 1) * size + 1;
}
int getEnd(int b) {
return min(n, getStart(b + 1) - 1);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
c[getBlock(i)] += a[i];
}
while(q--) {
int opt;
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1) {
int p, x;
scanf("%d %d", &p, &x);
// a[p] += x
a[p] += x;
c[getBlock(p)] += x;
} else {
int l, r;
scanf("%d %d", &l, &r);
if(getBlock(l) == getBlock(r)) {
int ans = 0;
for(int i = l; i <= r; i++) {
ans += a[i];
}
printf("%d\n", ans);
} else {
int ans = 0;
for(int i = getBlock(l) + 1; i <= getBlock(r) - 1; i++) {
ans += c[i];
}
for(int i = l; i <= getEnd(getBlock(l)); i++) {
ans += a[i];
}
for(int i = getStart(getBlock(r)); i <= r; i++) {
ans += a[i];
}
printf("%d\n", ans);
}
}
}SOLUTION2
这里不用分块的方法，是【暴力存储变化+重构数组】。
sum[]
for(int i = 1; i <= n; i++) { //预处理前缀和
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
vector<pair<int, int> > modify;
int C = (int)sqrt(q);
while(q--) {
int opt; scanf("%d", &opt);
if(opt == 1) {
int p, x;
scanf("%d %d", &p, &x); // a[p] += x
modify.push_back(make_pair(p, x));
if(modify.size() > C) { //到一定长度，清空数组【暴力重构法】
for(int i = 0; i < modify.size(); i++) {
a[modify[i].first] += modify[i].second; //某记录修改的位置
}
for(int i = 1; i <= n; i++) { //前缀和修改
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
modify.clear();
}
} else {
int l, r; scanf("%d %d", &l, &r);
int ans = sum[r] - sum[l - 1];
for(int i = 0; i < modify.size(); i++) //等到询问时，再一起修改变化的值
if(modify[i].first >= l && modify[i].first <= r)
ans += modify[i].second;
printf("%d\n", ans);
}
}pair中：修改位置和修改值，用来记录修改。
【重构】是防止modify很大而维护的定长，C=根号n。
【例题2】区间修改+单点查询
SOLUTION
区间加想到差分，转化为单点修改+区间求和，区间和想到分块。
【例题3】区间修改+区间查询
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
/*【poj3764】分块法（区间修改+区间查询）
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上x; 2.求出某区间每一个数的和。*/
//整段的修改用标记add处理，不足整段的暴力加和
ll a[100010],sum[100010],add[100010];
int l[100010],r[100010],pos[100010];
int n,m,t;
void change(int l,int r,ll x){
int p=pos[l],q=pos[r]; //找出询问区间端点对应的块
if(p==q){
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]+=x; //直接把区间的每个数增加
sum[p]+=x*(r-l+1); //此块的sum增加
}
else{
for(int i=p+1;i<=q-1;i++) add[i]+=x; //整块的变化用add标记
for(int i=l;i<=r[p];i++) a[i]+=x; //多余部分暴力
sum[p]+=x*(r[p]-l+1);
for(int i=l[q];i<=r;i++) a[i]+=x;
sum[q]+=x*(r-l[q]+1);
}
}
ll ask(int l,int r){
int p=pos[l],q=pos[r];
ll ans=0;
if(p==q){
for(int i=l;i<=r;i++) ans+=a[i];
ans+=add[p]*(r-l+1);
}
else{
for(int i=p+1;i<=q-1;i++) //中间整段
ans+=sum[i]+add[i]*(r[i]-l[i]+1);
for(int i=l;i<=r[p];i++) ans+=a[i];
ans+=add[p]*(r[p]-l+1);
for(int i=l[q];i<=r;i++) a[i]+=x;
ans+=add[q]*(r-l[q]+1);
}
return ans;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
t=sqrt(n); //分块
for(int i=1;i<=t;i++){
l[i]=(i-1)*sqrt(n)+1; r[i]=i*sqrt(n);
}//从第一个数开始，每次分整块，记录每块的编号
if(r[t]<n) t++,l[t]=r[t-1]+1,r[t]=n; //最后剩余的情况，特殊考虑
for(int i=1;i<=t;i++) //预处理
for(int j=l[i];j<r[i];j++)
{ pos[j]=i; sum[i]+=a[j]; } //记录每个数的归属块，求每块的sum
while(m--){
char op[3]; int l,r,x;
scanf("%s%d%d",op,&l,&r);
if(op[0]=='C'){ scanf("%d",&x); change(l,r,x); }
else printf("%lld\n",ask(l,r));
}
return 0;
}【例题4】bzoj 2724 蒲公英
【例题5】bzoj 2038 小Z的袜子
——时间划过风的轨迹，那个少年，还在等你。