题目描述
为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献,小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。
由于Samuel星球相当遥远,科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间,小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后,大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。
对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的,将一叠N(N为偶数)张扑克牌平均分成上下两叠,取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张,然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张,再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。
如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6,进行一次洗牌的过程如下图所示:
从图中可以看出经过一次洗牌,序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然,再对得到的序列进行一次洗牌,又会变为2 4 6 1 3 5。
游戏是这样的,如果给定长度为N的一叠扑克牌,并且牌面大小从1开始连续增加到N(不考虑花色),对这样的一叠扑克牌,进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利,你能帮助他吗?
输入输出格式
输入格式:输入文件中有三个用空格间隔的整数,分别表示N,M,L
(其中0<N≤10^10 ,0 ≤M≤10^10,且N为偶数)。
单行输出指定的扑克牌的牌面大小。
输入输出样例
6 2 3
6
说明
0<N≤10^10 ,0 ≤M≤10^10,且N为偶数
【解法】扩欧解线性同余方程
从找规律开始,拿数列1 2 3 4 5 6来说
(0) 1 2 3 4 5 6
(1) 4 1 5 2 6 3
(2) 2 4 6 1 3 5
(3) 1 2 3 4 5 6
好像循环起来了,3个一循环,也就是(N/2)个一循环
再找其他规律。
1这张牌,位置变化:1->2->4
2:2 -> 4 -> 1
3:3 -> 6 -> 5
可以推测:位置x,下一步变到(x+1) mod (N+1)
第L张牌:
x∗2m≡L (mod(N+1))
即x * 2^m + y(N+1) = L
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL N, M, L;
LL Qpow(LL a, LL b, LL m) {
LL ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) ans = (ans * a) % m;
b >>= 1;
a = (a * a) % m;
}
return ans;
}
LL Extended_GCD(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
if(!b) x = 1, y = 0, d = a;
else Extended_GCD(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
}
void Linear_Equation(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL c) {
LL d, k;
Extended_GCD(a, b, d, x, y);
if(c % d) return;
k = c / d;
x *= k;
y *= k;
}
int main() {
cin >> N >> M >> L;
if(M % (N >> 1) == 0) { //特判加速
cout << L << endl;
return 0;
}
LL x, y;
Linear_Equation(Qpow(2, M, N+1), N+1, x, y, L);
while(x < 0) x += N+1;
cout << x % (N+1) << endl;
return 0;
}