题目
一个均匀绳子，长度为\(L\)，质量为\(m\)，下端刚好接触一个天平。现在开始自由下落。当天平上绳子的长度恰好为\(x\)时，求天平这时的读数
解法
\(\frac 12gt^2=x\Leftrightarrow t=\sqrt {\frac {2x}g}\)
\(v=gt=\sqrt {2gx}\)
\(F\Delta t=\Delta mv\Leftrightarrow F=\frac {\Delta mv}{\Delta t}\)
对于式子\(\frac {\Delta m}{\Delta t}\)，有两种解法：
①我：可以将其视作一种速度，对于当前极短时间内的速度\(v\)与以这种速度遍历整条绳子的时间\(T=\frac Lv\)，有\(\frac {\Delta m}{\Delta t}=\frac mT\)
②boshi：\(\Delta m=v\cdot \Delta t \cdot \frac xL\cdot m\)，上下消元即可
最后各方式子汇合可得\(F=\frac {2gx}L\)，再算上原本在天平上的重量，最终答案为\(\frac {3gx}L\)
题目
一个无穷网格，每条线段的电阻为 1 欧，求相邻两点之间的等效电阻的大小。
解法
假设一个大小为\(1A\)的电流从起点处流入，从各个无穷远处流出。由对称性，有\(0.25A\)的电流将会流过两点之间的线段。现在，再假设一个大小为\(1A\)的电流从各个无穷远处流入，从终点流出。由对称性，两点之间的线段仍然有\(0.25A\)的电流。现在，把两种情况叠加在一起看，大小为\(1A\)的电流从起点进去从终点出来，那么，两点间的线段就有\(0.5A\)的电流，电压为\(0.5A\cdot 1Ω=0.5V\)，等效电阻为\(\frac {0.5V}{1A}=0.5Ω\)
题目
把大米扛起来往秤上倒，大米是以\(q\)的速度匀速流出。大米下落的高度是\(h\)。B 君要买质量为\(m\)的米。卖米的大爷看到秤的度数显示为\(m\)的时候,立刻停止了倒米。空中的米继续下落。问 B 君亏了还是卖米的大爷亏了。
解法
称量偏差：\(m=\frac Fg=\frac {\Delta mv}{\Delta tg}=q\sqrt {\frac {2h}g}\)
空中剩余：\(m=tq=\sqrt{\frac{2h}g}q\)
所以谁也没亏
题目
将一个硬币抛起来，如果立起来的可能性为\(\frac 13\)，求硬币半径与厚度之间的关系
解法
网上\(Matrix67\)的解法是在二维平面意义下的错误解法，但为我们在三维意义下的正解提供了思路
首先二维平面意义下的解法是考虑矩形外接圆，再考虑弧长，如图
其中我们假设二维意义下这个硬币以圆的各个角度落下的概率一样，则只有落在\(\overset{\frown}{CE}\)与\(\overset{\frown}{DF}\)才会立起，依题意，这两段弧占整个圆周的\(1\over 3\)，即\(∠DAF=60°\)，则\(∠DEF=30°\)，\(\frac {EF}{DF}=\sqrt 3\)
但上面这种解法是错的，因为考虑三维意义下，因为三维意义下，硬币从三维空间内的任意一个方向都有可能，所以我们需要考虑球的情况。相应的，我们需要求球冠的面积，对应上面那副图，我们将其想象成球的一个截面，不能立起的情况就是落在两边的球冠内
我们考虑球冠面积等于球面积的\(\frac 23\)，即\(2\cdot 2\pi rh=\frac 23 \cdot 4\pi r^2\)，得\(h=\frac 23 r\)
球冠的百度百科中还有明显的错误，已提出质疑，这个词条还是什么“专家评审”，这么简单的错误都看不出
则圆柱高的一半即\(AG=\frac 13r\)，\(EG=\frac {2\sqrt 2}3r\)
则硬币直径与厚度比为
\[\frac {EF}{DF}=\frac {EG}{AG}=\frac {\frac {2\sqrt 2}3r}{\frac 13 r}=2\sqrt 2\]