改造二叉树——题解

题目大意

给出一颗二叉树及其$N$个节点的权值，每个节点权值最多修改一次，且只能修改成整数。求最小的修改次数，使这棵二叉树成为排序二叉树。
$N<=100000$

首先，排序二叉树是一种左儿子权值严格小于父亲，右儿子权值严格大于父亲的二叉树（$BST$）。所谓“排序”，就是先序遍历排序二叉树，得到的是一个严格递增的序列。

那么我们显然要先先序遍历一趟，构造出$A$数组，那么题目就变成求使一个序列变为严格递增所需的最少修改次数
所以答案就为$N-LIS(最长上升子序列)$

但是，

题目要求每个节点的权值只能改为整数！只要有“卡死”的重复元素，就完蛋了
如这个样例就崩溃了：
$N=4$　　　　　　$A:1　　2　　2　　3$

$LIS=3$　　　　　$Wrong　Answer＝１$
$Answer=2$

我们再思考一下：
修改完后，显然
$A_1<A_2<A_3<……A_i<A_{i+1}……<A_N$
即
$A_1+1<=A2　,A2+1<=A3,　……A_i+1<=A_{i+1}……　A_{N-1}+1<=A_N$
所以显然对于$i,j\epsilon[1,n](i<=j)$,有
$A_j-A_i>=j-i$,即$A_j-j>=A_i-i$
那如果将每个Ai抠掉i，则
$A_1-1<=A_2-2<=A_3-3<=……A_i-i<=A_{i+1}-(i+1)……<=A_N-N$
此时，就没有重复的元素影响了
只要$O(N*log)$求一趟最长不降子序列就OK了

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=(1e5)+5;
int n,tal;LL que[maxn],a[maxn];
struct ff{
    int L,R,x;
}c[maxn];
char gt(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int read(){
    int ret=0;bool f=0;char ch=gt();
    while(ch<'0'||ch>'9') f|=(ch=='-'),ch=gt();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=gt();
    return f?-ret:ret;
}
void DFS(int x){
    if(c[x].L) DFS(c[x].L);
    a[++a[0]]=c[x].x;
    if(c[x].R) DFS(c[x].R);
}
void find(LL x){
    if(x>=que[tal]){que[++tal]=x;return;}
    int L=1,R=tal,mid;
    while(L<=R){
        mid=L+R>>1;
        if(que[mid-1]<=x&&x<que[mid]){que[mid]=x;return;}
        if(x<que[mid-1]) R=mid-1;else L=mid+1; 
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i].x=read();
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int fa=read(),flg=read();
        if(flg) c[fa].R=i;else c[fa].L=i;
    }
    DFS(1);
    que[0]=-((LL)1<<60);
    for(int i=1;i<=n;i++) find(a[i]-i);
    printf("%d\n",n-tal);
    return 0;
}