[Codeforces 1027 F] Session in BSU [并查集维护二分图匹配问题]

题面

传送门

思路

真是一道神奇的题目呢

题目本身可以转化为二分图匹配问题，要求右半部分选择的点的最大编号最小的一组完美匹配

注意到这里左边半部分有一个性质：每个点恰好连出两条边到右半部分

那么我们可以利用这个性质

考虑一个左边的点和它右边联通的两个点，发现这两个点只能选择一个和这个左边的点匹配

那么我们考虑把这个点点匹配的模型转化成点边匹配

我们在同一个左边点连的两个右边点之间连边，那么问题就变成了一个点和一条相邻的边匹配，求完美匹配的问题了

而这个问题，我们显然可以用并查集来很好的解决

考虑一个联通块，如果联通块中边数大于点数，那么可以直接输出-1，因为此时边代表的是原题中需要满足的那个东西（考试），而边比点多就一定无解了

如果边数等于点数，那么显然这个联通块中做出最大值贡献的点应该是编号最大的那个。这种情况下我们会得到一棵基环树，每个边恰好有一个点和它匹配

如果边数小于点数，那么这个联通块肯定是一个树，那么此时对答案的贡献就是联通块中的次大值了，因为可以以最大值为根，不选根，剩下的每个点匹配连接它和它父亲的那条边

用并查集维护联通块内部的点数、边数、最大值和次大值，最后扫一遍，取所有联通块的最大贡献的最大值即可

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cassert>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int f[2000010],maxn[2000010],sec[2000010],cnte[2000010],cntn[2000010];
inline int find(int x){return ((f[x]==x)?x:f[x]=find(f[x]));}
inline void join(int x,int y){
    x=find(x);y=find(y);
    if(x==y){
        cnte[x]++;return;//注意这里也需要加一条边
    }
    f[x]=y;cnte[y]+=cnte[x]+1;cntn[y]+=cntn[x];
    int tmp[4];
    tmp[0]=maxn[x];tmp[1]=sec[x];tmp[2]=maxn[y];tmp[3]=sec[y];
    sort(tmp,tmp+4);
    maxn[y]=tmp[3];sec[y]=tmp[2];
}
struct node{
    int val,num,pos;
}a[2000010];
int n,cnt;
inline bool cmp1(node l,node r){
    return l.val<r.val;
}
inline bool cmp2(node l,node r){
    return l.num<r.num;
}
int main(){
    n=read();int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++) a[i].val=read(),a[i+n].val=read(),a[i].num=i,a[i+n].num=i+n;
    sort(a+1,a+(n<<1)+1,cmp1);
    for(i=1;i<=(n<<1);i++){
        j=i;
        while(a[i+1].val==a[i].val&&i<(n<<1)) i++;
        cnt++;f[cnt]=cnt;cnte[cnt]=0;cntn[cnt]=1;maxn[cnt]=a[i].val;sec[cnt]=0;
        while(j<=i) a[j].pos=cnt,j++;
    }
    sort(a+1,a+(n<<1)+1,cmp2);
    for(i=1;i<=n;i++){
        join(a[i].pos,a[i+n].pos);
    }
    int ans=0;
    for(i=1;i<=cnt;i++){
        if(f[i]==i){
            if(cnte[i]>cntn[i]){
                puts("-1");return 0;
            }
            if(cnte[i]==cntn[i]) ans=max(ans,maxn[i]);
            if(cnte[i]<cntn[i]) ans=max(ans,sec[i]);
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
}