功能：偏最小二乘回归分析。
function [sol, yhat] = PLS_Regress(x, y)
% 函数功能：偏最小二乘回归
% =============================================================
% 输入：
% x：自变量；
% y：因变量；
% 输出：
% sol：回归系数，每一列是一个回归方程，且第一个元素是常数项；
% yhat：拟合值
% 调用格式：
%{
clear;clc;
pz = load('pz3_3.txt');
x = pz(:, 1:3);
y = pz(:, 4:6);
[sol, yhat] = PLS_Regress(x, y);
subplot(3, 1, 1)
bar([yhat(:, 1), y(:, 1)]);
subplot(3, 1, 2)
bar([yhat(:, 2), y(:, 2)]);
subplot(3, 1, 3)
bar([yhat(:, 3), y(:, 3)]);
%}
% =============================================================
[rX, n] = size(x); % 自变量个数
[rY, m] = size(y); % 因变量个数
assert(rX == rY, 'x和y的横向维度不一致！');
%%% 标准化数据
xmean = mean(x); % 每一列均值
xstd = std(x); % 每一列标准差
ymean = mean(y); % 每一列均值
ystd = std(y); % 每一列标准差
e0 = (x - xmean(ones(rX, 1), :))./xstd(ones(rX, 1), :);
f0 = (y - ymean(ones(rY, 1), :))./ystd(ones(rY, 1), :);
%%% 迭代计算
chg = eye(n); % w到w*变换矩阵的初始化
w = zeros(n, n);
w_star = zeros(n, n);
t = zeros(rX, n);
ss = zeros(1, n);
press_i = zeros(1, rX);
press = zeros(1, n);
Q_h2 = zeros(1, n);
for i = 1:n
%%% 以下计算w，w*和t的得分向量
%%% 提取最大特征值和对应的特征向量
w(:, i) = Max_Eig(f0'*e0);
w_star(:, i) = chg*w(:, i); % 计算w*的取值
t(:, i) = e0*w(:, i); % 计算成分ti的得分
alpha = e0'*t(:, i)/(t(:, i)'*t(:, i)); % 计算alpha_i
chg = chg*(eye(n) - w(:, i)*alpha'); % 计算w到w*的变换矩阵
e = e0 - t(:, i)*alpha'; % 计算残差
e0 = e;
%%% 以下计算ss(i)的值
beta = [t(:, 1:i), ones(rX, 1)]\f0; % 求回归方程的系数
beta(end, :) = []; % 删除回归分析的常数项
cancha = f0 - t(:, 1:i)*beta; % 残差
ss(i) = norm(cancha)^2; % 误差平方和
%%% 以下计算press(i)
for j = 1:rX
t1 = t(:, 1:i);
f1 = f0;
she_t = t1(j, :); % 保存舍去的第j个样本点
she_f = f1(j, :);
t1(j, :) = []; % 删除第j个观测值
f1(j, :) = [];
beta1 = [t1, ones(rX - 1, 1)]\f1; % 求回归分析的系数
beta1(end, :) = []; % 删除回归分析的常数项
cancha = she_f - she_t*beta1; % 残差
press_i(j) = norm(cancha)^2;
end
press(i) = sum(press_i);
if i > 1
Q_h2(i) = 1 - press(i)/ss(i - 1);
else
Q_h2(i) = 1;
end
if Q_h2(i) < 0.0975
fprintf('提出的成分个数r=%d\n', i);
r = i;
break;
end
end
beta_z = [t(:, 1:r), ones(rX, 1)]\f0; % 求Y关于t的回归系数
beta_z(end, :) = []; % 删除常数项
xishu = w_star(:, 1:r)*beta_z; % 求Y关于标准数据X的回归系数，每一列是一个回归方程
%%% 计算原始数据的回归方程的常数项
ch0 = zeros(1, m);
for i = 1:m
ch0(i) = ymean(i) - xmean./xstd*ystd(i)*xishu(:, i);
end
% 计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
xish = zeros(n, m);
for i = 1:m
xish(:, i) = xishu(:, i)./xstd'*ystd(i);
end
sol = [ch0; xish];
yhat = [ones(size(x, 1), 1), x]*sol;
end
%%% 最大特征值对应的特征向量
function Eigenvector = Max_Eig(A)
B = A'*A;
% 最大二范数的列
[~, idx] = max(sum(B));
x = A(:, idx);
% 收敛性判断
x0 = x - x;
% 迭代
Eigenvector = A'*x;
while norm(x - x0) > 1e-8
Eigenvector = A'*x; % 特征向量方向
Eigenvector = Eigenvector/norm(Eigenvector); % 归一化
x0 = x; % 更新
x = A*Eigenvector;
end
end
191 36 50 5 162 60
189 37 52 2 110 60
193 38 58 12 101 101
162 35 62 12 105 37
189 35 46 13 155 58
182 36 56 4 101 42
211 38 56 8 101 38
167 34 60 6 125 40
176 31 74 15 200 40
154 33 56 17 251 250
169 34 50 17 120 38
166 33 52 13 210 115
154 34 64 14 215 105
247 46 50 1 50 50
193 36 46 6 70 31
202 37 62 12 210 120
176 37 54 4 60 25
157 32 52 11 230 80
156 33 54 15 225 73
138 33 68 2 110 43