OI中坑点总结（持续更新）

以下是我个人OI生涯中遇到的坑点的一个小总结，可能是我太菜了，总是掉坑里，请大佬勿喷

1，多重背包的转移顺序

//默认每个物品体积为一（不想打码……）
//dp[i]表示占用背包容量i所能获得的最大价值
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=sum;j>0;j--)        //sum表示背包最大容量
        for(int k=0;k<=num;k++)    //num表示这个物品的数量，k表示选取当前物品k件
            if(j>=k)
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-k]+value);

简单的多重背包模板，对于学过的人，大概清晰易懂吧

//dp[i]表示占用背包容量i所能获得的最大价值
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int k=0;k<=num;k++)    //num表示这个物品的数量，k表示选取当前物品k件
        for(int j=sum;j>k;j--)        //sum表示背包最大容量
            dp[j]=min(dp[j],dp[j-k]+value);

很相似的代码，只是改了转移顺序，但是为什么会错呢？

类比01背包的倒序转移，

考虑对于某种物品，标程中先枚举 j ，再枚举 k ，这样对于每个位置 j ，只能先于位置 j - i ，由 j - i ( i ∈ [ 0 , k ] )转移一次

而错误写法中，对于位置 j ，可以由转移过的位置 j - i 转移而来

这为什么会导致错误呢？考虑在 j 之前， j - i 已经由 j - i₁ - i₂ 转移而来，多重背包的物品是可以组合的，所以以上的转移等价于 dp[ j - i₁ - i₂ ] 直接转移到 dp[ i ] ，而我们不能保证 i₁ + i₂ <= num ，即可能会取多于物品总数的物品

举个例子：

物品数量为7，我们枚举位置13，由8转移而来，而在此之前，位置8由4转移而来，等价于位置13由位置4转移而来，13-4=9>7，转移非法