Character Encoding((1+x+x^2+...+x^k)^m中x^n的系数)

原题 : hdu 6397

题意 :

k个球装入m个不同的盒子,每个盒子可装的球的数量为0~n-1,求方案数

解析:

有母函数现有公式 :

$$(1+x+x^2+...+x^k)^m\Rightarrow \sum_{n=1}^{k*m}a_n*x^n$$

$$\forall a_n=\sum_{i=0}^{[\frac{n}{k+1}]}(-1)^i*C_m^i*C_{n+m-(k+1)*i+1}^{n-(k+1)*i}$$
$\\$

---

$\\$
讲一下容斥的做法 :

在不考虑数量上限的时候,方案数为$C_{m+k-1}^{m-1},$此时包括了不合法的情况,即有盒子的球数大于等于n

为什么是$C_{m+k-1}^{m-1}?$ $\\$ 我们有k个数,m个盒子,相当于在k个数中插入m-1个板子,就变成了m+k-1的排列数$A_{m+k-1}^{m+k-1}$,除去板子的顺序$A_{m-1}^{m-1}$和数的顺序$A_{k}^{k},$就得到了$C_{m+k-1}^{m-1}$

考虑大于等于n的情况: $\\$ 设至少有i个盒子不合法(包括i以上个盒子)的方案数为$S(i)$,显然$S(i)$包括了$S(i+1),S(i+2)...$的情况 $\\$ 那么最终答案为 $$C_{m+k-1}^{m-1}- S(1)+S(2)-...$$ $\\$ 至于求$S(i)$,我们可以换个思路想,对任意i个盒子,我们在分球之前就放入n个球使之不合法,然后再把剩下的$k-i*n$个球随机放,方案数为$C_m^i*C_{m-i*n+k-1}^{m-1}$,你会发现最后放好的结果可能不止i个盒子不合法,即包括了i+1,i+2的情况,就是上面答案中的情况即容斥原理的公式

$\\$

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<list>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<sstream>
#include<functional>
using namespace std;
#define D long long
#define F double
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
D read(){ D ans=0; char last=' ',ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
const int N=200000;
const F pi=acos(-1);
const D mod=998244353;
const F _e=2.718281828459045;

/*快速幂*/
D swift(D a,D b){
    D ans=1ll;
    while(b){
        if(b%2)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return ans;
}

D inv(D a){return swift(a,mod-2);}//费马小定理


/*预处理阶乘*/
D fac[N+9];
D inv_fac[N+9];
void init_fac(){
    fac[0]=fac[1]=1ll;
    for(int i=2;i<=N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    //预处理阶乘逆元
    inv_fac[N]=swift(fac[N],mod-2);//费马小定理求 N！的逆元
    for(D i=N-1;i>=1;i--) inv_fac[i]=(inv_fac[i+1]*(i+1))%mod;
    inv_fac[0]=1;
}



D A(D a,D b){//排列数 a下
    if(b>a||b<0)return 0;
    return fac[a]*inv_fac[a-b]%mod;
}
D C(D a,D b){//组合数 a下
    if(b>a||b<0)return 0;
    return fac[a]*inv_fac[a-b]%mod*inv_fac[b]%mod;
}


int main(){
    init_fac();
    int t=read();
    while(t--){
        D n=read(),m=read(),k=read();
        if(m*(n-1)<k){printf("0\n");continue;}
        D ans=C(m+k-1,m-1);
        for(int i=1;i*n<=k;i++){
            D f=1;
            if(i%2)f=-f;
            ans=(ans+f*C(m,i)*C(m-i*n+k-1,m-1)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}