EM算法、k-means、GMM

EM算法针对是有隐藏变量的无监督问题。
已知：观察到一组变量${x_1,x_2,...,x_n}$（由隐藏变量$Z$决定），$P(Z|X, \theta)$和$P(X|Z, \theta)$
求解：在损失函数$L(X|\theta)$下的最优解$Z, \theta$
理论推导：
$L(X|\theta)=log~p(X|\theta)$
$=log[\sum_Zp(X,Z|\theta)]$
$=log[\sum_Zp(X|Z,\theta)p(Z|\theta)]$
$=log[\sum_Zp(Z|X ,\theta^{(i)})\frac{p(X|Z,\theta)p(Z|\theta)} {p(Z|X,\theta^{(i)})}]$
$\geq\sum_Zp(Z|X,\theta^{(i)})log[\frac{p(X|Z,\theta)p(Z|\theta)}{p(Z|X,\theta^{(i)})}]$
最大化$\sum_Zp(Z|X,\theta^{(i)})log[\frac{p(X|Z,\theta)p(Z|\theta)}{p(Z|X,\theta^{(i)})}]$，显然$\theta^{(i)}$单调递增（因为每次都是最大化下限，下限就是$L(X|\theta^{(i)})$）
最大化下限这步叫做M步（maximization），求$p(Z|X,\theta^{(i)})$这步叫E步骤（expectation）。

实例：
k-means
已知：观察到一组变量${x_1,x_2,...,x_n}$；$\theta$为$k$个中心点；$Z$为$X$属于哪个中心，$P(Z|X, \theta)$为离那个中心近，相应的$Z$的分量为1；$P(X, Z|\theta)$当$\theta$为对应类别的中心时概率为1，其他概率为0。
LOSS：$X$距离最近类别的中心的距离和。
E步：求$X$属于$k$个中的那一类，即求$Z$。
M步：求在$X,Z$条件下$\theta$的值。

Guass Mixture Model
已知：观察到一组变量${x_1,x_2,...,x_n}$；$\theta$为$k$个高斯分布和相应的权重；$P(Z|X, \theta)$为属于哪个高斯分布的概率；$P(X, Z|\theta)$当在$X,Z$条件下，高斯分布的参数。
LOSS：$X$距离最近类别的中心的距离和。
E步：求$X$对应的$Z$
M步：求在$X,Z$条件下$\theta$的值。

k-means优点：计算简单；缺点：当不同类别的范围不同时，可能会不准确
GMM有点：精确，除了聚类，还可以拟合概率分布；缺点：计算复杂

补充：当中心数目不确定时，可以多取几个k值，计算轮廓系数的方法来得出最优的k值。