先来看一道例题：
hdu 2586 How far away ？
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586
题目描述的就是给你一棵n个节点的树，然后Q次询问，每次询问的内容是节点x和节点y的最近公共祖先（LCA）
接下来就来说一说LCA（最近公共祖先）
你需要准备的预备知识：
①ST表处理RMQ问题；
②并查集的思想以及实现；
③DFS遍历整棵树，维护一些值；
求LCA的三种方法：
1、LCA转RMQ；
做法：
①首先按DFS序遍历整棵树，得到每个节点第一次出现的序号，每个节点的深度，以及每个节点所维护的值；
②对于每个询问(a,b)，判断第一次出现a与第一次出现b的大小，化成一个区间查询最小值；
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③ST打表，O(1)回答每次区间最小值的查询即可；
模板如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int dis[maxn],dep[maxn],first[maxn],pos[maxn];
int dp[maxn][25];
int cnt;
struct edge{
int to,w;
};
vector<edge> G[maxn];
int min(int i,int j) //因为需要得到最小值的序号，因此更新的时候返回序号即可
{
return dep[i]<dep[j]?i:j;
}
void Init_RMQ(int n) //递推求ST表
{
for(int i=0;i<=n;i++)
dp[i][0]=i;
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int query(int l,int r) //用ST表求RMQ
{
int k=log(r-l+1);
return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int get_lca(int a,int b) //比较两个节点谁先出现，确定RMQ的范围
{
return first[a]>first[b]?pos[query(first[b],first[a])]:pos[query(first[a],first[b])];
}
void dfs(int u,int fa,int deep) //dfs遍历每个节点
{
dep[cnt]=deep,pos[cnt]=u,first[u]=cnt++; //保存每个节点的深度，这个节点的值，第一次出现的序号
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v=G[u][i].to;
if(v==fa)
continue;
dis[v]=dis[u]+G[u][i].w; //更新子节点距离
dfs(v,u,deep+1); //继续遍历子节点
pos[cnt]=u;
dep[cnt++]=deep;
}
}
int main()
{
int t,a,b,c,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
cnt=0;
for(int i=0;i<maxn;i++)
G[i].clear();
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
G[a].push_back(edge{b,c});
G[b].push_back(edge{a,c});
}
dfs(1,-1,1);
Init_RMQ(2*n-1);
while(m--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",dis[a]+dis[b]-2*dis[get_lca(a,b)]);
}
}
return 0;
} 2、Tarjan算法求LCA；
做法：
①对于当前节点x，遍历所有子节点，当遍历结束之后，将其整棵子树合并到x，并保证合并之后的祖先为x；
②处理有关于x的询问，对于询问(x,y),如果y节点已经遍历，则x与y的LCA就是y节点所在的集合的祖先。否则，将其推迟到遍历y的时候再处理。
其中合并和查询集合祖先用到的是并查集
模板如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,t,x,y,z,vis[maxn],dis[maxn],fa[maxn],ans[maxn];
struct node{
int v,w;
};
vector<node> a[maxn]; //保存节点信息
vector<node> b[maxn]; //保存查询信息
void Init() //初始化
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
vis[i]=ans[i]=dis[i]=0;
a[i].clear(),b[i].clear();
}
}
int find(int x) //查找祖先节点
{
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void Union(int x,int y) //合并
{
fa[find(y)]=find(x);
}
void tarjan(int u)
{
vis[u]=1; //标记节点u已经被访问
for(int i=0;i<a[u].size();i++) //遍历节点u
{
int v=a[u][i].v,w=a[u][i].w;
if(!vis[v])
{
dis[v]=dis[u]+w; //更新距离
tarjan(v); //继续遍历节点u的子节点v
Union(u,v); //将节点v合并到节点u中
}
}
for(int i=0;i<b[u].size();i++) //搜索关于节点u的查询
{
int v=b[u][i].v;
if(vis[v]) //如果关于节点u查询的对立节点v已经被遍历过
ans[b[u][i].w]=dis[u]+dis[v]-2*dis[find(v)]; //则可以回答查询
}
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
Init();
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
a[x].push_back(node{y,z});
a[y].push_back(node{x,z});
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
b[x].push_back(node{y,i});
b[y].push_back(node{x,i});
}
tarjan(1);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}3、倍增求LCA；
做法：
①预处理遍历整棵树，保存每个节点的深度，并且递推求出它的二进制距离的祖先节点的维护值，这些值保存在f[i][j]中，其中f[i][j]表示的是对于节点i，与它相距2^j次方距离的祖先节点的值。
②对于每个询问（a,b），找到深度大的那个点（假设是a点），逆序遍历j，其中j表示能够往上跳的距离的log值，直到a和b两个点的深度相等；
③接下来a和b两个点一起往上跳，每次跳的高度和距离都必须相等，跳的方法同②，直到两个点跳到同一个点为止，那个点即为最近公共祖先；
模板如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int tot,head[maxn],dis[maxn],fa[maxn][25],dep[maxn];
struct node{
int u,v,w,next;
}edge[maxn];
void add(int u,int v,int w) //无向边，正反建两次
{
edge[++tot].next=head[u],edge[tot].v=v,edge[tot].w=w;
head[u]=tot;
edge[++tot].next=head[v],edge[tot].v=u,edge[tot].w=w;
head[v]=tot;
}
void Init(int n) //递推预处理fa数组
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<20;j++)
fa[i][j+1]=fa[i][j]<0?-1:fa[fa[i][j]][j];
}
void dfs(int u,int pre,int deep,int d) //dfs遍历整棵树的所有节点
{
dis[u]=d,fa[u][0]=pre,dep[u]=deep;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].v!=pre)
dfs(edge[i].v,u,deep+1,d+edge[i].w);
}
int query(int u,int v) //倍增查询
{
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
for(int i=0;i<=20;i++)
if((dep[v]-dep[u])>>i&1)
v=fa[v][i];
if(u==v) return u;
for(int i=20;i>=0;i--)
if(fa[u][i]!=fa[v][i])
u=fa[u][i],v=fa[v][i];
return fa[u][0];
}
int main()
{
int t,m,x,y,z,i,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
tot=0;
memset(head,0,sizeof(head));
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z);
dfs(1,-1,1,0);
Init(n);
while(m--)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",dis[x]+dis[y]-2*dis[query(x,y)]);
}
}
return 0;
}