启发式合并（堆、set、splay、treap）/线段树合并学习小记

启发式合并

• 刚听到这个东西的时候，我是相当蒙圈的。特别是“启发式”这三个字莫名的装逼，因此之前一直没有学。
• 实际上，这个东西就是一个SB贪心。
• 以堆为例，若我们要合并两个堆a、b，我们有一种极其简单的做法：那就是比较一下它们的大小，将小的堆的每个元素依次插入到大的堆中。不妨设$|a|≤|b|$，则时间复杂度即为：$O(|a|*log_2(|a|+|b|))$。
• 这个东西看似很慢，但当点数较小的时候，我们可以证明复杂度是可被接受的。

---

• 比如我们要合并n个堆，这n个堆共有m个点。设这n个堆$=\{s_1,s_2,s_3,...,s_n\}$。
• 首先，我们合并$s_1$和$s_2$，变成一个新的堆$t_1$。
• 然后，我们合并$t_1$和$s_3$，变成一个新的堆$t_2$。
• ……
• 以此类推，我们最终可以合并出一个堆$t_{n-1}$。

---

• 合并堆a、b时，记1次操作为将a中的一个元素插入b（或将b中的一个元素插入a）。
• 可以发现，第1次合并操作数$≤|s_2|$，第2次合并操作数$≤|s_3|$……第i次合并操作数$≤|s_{i+1}|$。
• 因此，总操作数$≤\sum_{i=2}^n|s_i|≤m$。而每次操作又是$O(log_2m)$的复杂度。因此：
• 时间复杂度：$O(n+mlog_2m)$。

推广

• 启发式合并也可以用到set、splay、treap等平衡树上去。
• 若我们要合并两棵平衡树a、b，也是先比较大小，将小的平衡树的每个元素依次插入大的平衡树。囿于插入的时间也是$O(log_2n)$，因此总复杂度还是$O(|a|*log_2(|a|+|b|))$。
• 注意：这里的合并并非treap的merge。merge(a,b)是强行让a所有元素的键值（要满足二叉排序树的性质的那个值）均小于b所有元素的键值，所以可以$O(log_2n)$做到；而这里要合并的两棵平衡树a、b的键值可能是交错不齐的。

线段树合并

• OI中常常遇到一些题目，要将若干物件不断合并，维护信息。
• 如果合并的顺序不对，堆/平衡树的启发式合并会很慢。比如当你分治+启发式合并的时候，时间复杂度就变成$O(n*(log_2n)^2)$了。
• 这个时候，就需要线段树合并。

---

• 对于这个，相信大家都想得出下面这种合并步骤：
  
• 为了方便确定一棵树是否为空，我们动态开点。
• 比如，我们合并两棵权值线段树：
  
• 显然，这么做的复杂度与两棵树公共的节点数成正比。
• 但是，假设我们要合并多棵线段树呢？

---

• 假设我们要合并n棵线段树，定义势能函数$\Phi(n)$为它们的节点个数和。
• 每次合并线段树a、b时，设其公共点数为c，则合并后的$\Phi(n)$减少c，而时间复杂度增加c。
• 因此，时间复杂度应≤节点个数和。
• 当线段树中总共有m个元素时（比如n棵权值线段树，只存有m个数），每个元素都可以动态开辟至多$log_2n$个节点。因此，此时的时间复杂度应为$O(n+mlog_2n)$。
• 注意：此时的时间复杂度并不受合并顺序的限制。换句话说，不论你按什么顺序合并，只要你是合并n棵只有m个元素的线段树，时间复杂度就是$O(n+mlog_2n)$。

例题

【BZOJ 2212】【Poi2011】 Tree Rotations
【JZOJ5800】【洛谷P4416】 [COCI2017-2018#1] 被单