P2424 约数和
题目背景
Smart最近沉迷于对约数的研究中。
题目描述
对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？
输入输出格式
输入格式：
输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。
输出格式：
输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。
Solution
首先利用前缀和的思想， 我们只要能求出 \(1 - n\) 的约数和的和， 就能求出一段区间的约数和的和
那么如何快速求出从 \(1\) 开始约数和的和呢
很朴素大暴力万岁！的算法是 \(O(\sqrt{n})\) 计算每个数的约数进行累加 ，然后慢到爆炸
我们可以换种思维， 考虑枚举约数
显然对于一个约数 \(d\) ， 在 \(1 - n\) 中出现过 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 次， 所以这一约数贡献的答案为 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor * d\)
所以 \(1-n\) 总因数和为 \[\sum_{i = 1}^{n}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor * i\]
这样依然需要枚举 \(1-n\) 这 \(n\) 个因数， \(O(n)\) 依然达不到复杂度要求
其实看到 \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 时我们很兴奋： 除法分块！
（之前学的除法分块是假的。。现在补个真的）
比如说当 \(n = 12\) 时， 我们分别计算 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\ (1 <= i <= 12)\) 可以得到以下结果：
\(12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1\)
注意有部分连续的向下取整值是一样的！除法分块就是 利用打表找规律 来求出每个区间的左右端点以达到进行快速运算的目的