自适应辛普森公式
辛普森公式是数值方法中常用的计算函数定积分的近似方法。
- 计算定积分的方法
- 辛普森公式的推导
- 其他N-C公式
- 自适应方法
计算定积分的方法
- 求原函数
- 直接查表
- 这个求不出来怎么办
- 那就不求原函数
- 数值积分
辛普森公式的推导
辛普森(Simpson)公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形,也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6,4/6,1/6。 —— [ 百度百科 ]
于是我们引入了辛普森公式
怎么推导呢?
配方法!!
这就说明了:
任何一个不大于三次的函数的定积分都可以写成这样的辛普森公式!
有什么用呢?
用来近似!
假装其他函数的某一部分是一个不大于三次的函数
那么它的定积分也就好求了
用辛普森公式就行了
先用Simpson公式近似,万一近似导致误差太大,那么就二分,分成两段区间分别近似。
怎么近似呢?
直接带公式啊
什么叫误差太大呢?
先算区间
的近似值,然后分别算一下
和
的近似值
假如
那么我们就需要分别重新计算
的积分值
此时精度的限制要缩小一半
然后我用Java实现了一下
发现貌似记得太清楚了
跟lrj老师写的一模一样
class Simpson {
// 三点simpson法
public double simpson(double a, double b) {
double c = a + (b-a)/2;
return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;
}
// 自适应Simpson公式(递归过程)。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A
public double asr(double a, double b, double eps, double A) {
double c = a + (b-a)/2;
double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);
if(Math.abs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;
return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);
}
// 自适应Simpson公式(主过程)
public double asr(double a, double b, double eps) {
return asr(a, b, eps, simpson(a, b));
}
}