金融时间序列分析（第一讲）

1、资料

这里写图片描述

蔡瑞胸教授的主页：http://faculty.chicagobooth.edu/ruey.tsay/teaching/

FinTS是与《金融时间序列分析》配套的R package：

install.packages("FinTS")
library("FinTS")
help(package="FinTS")

2.金融时间序列及其特征

金融时间序列是研究资产价值随时间演变的理论和实践。

2.1 线性时间序列基本概念

平稳性

严平稳(strictly stationary)：相同的联合分布
弱平稳(weakly stationary)：
(a) $E(r_t)=\mu,\text{which is a constant}$
(b) $cov(r_t,r_{t-l})=\gamma_l$ , which only depends on $l$
通常我们假设asset return series是弱平稳的

自相关函数（Autocorrelation Function, ACF）

ρ l = c o v ( r t , r t - l ) v a r ( r t ) v a r ( r t - l ) ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt = c o v ( r t , r t - l ) v a r ( r t ) = γ l γ 0 ρ l^= \sum T t = l + 1 ( r t - r ¯ ) ( r t - l - r ¯ ) \sum T t = 1 ( r t - r ¯ ) 2

$\rho_l=\frac{cov(r_t,r_{t-l})}{\sqrt{var(r_t)var(r_{t-l})}}=\frac{cov(r_t,r_{t-l})}{var(r_t)}=\frac{\gamma_l}{\gamma_0}\\ \hat{\rho_l}=\frac{\sum_{t=l+1}^{T}(r_t-\bar{r})(r_{t-l}-\bar{r})}{\sum_{t=1}^{T}(r_t-\bar{r})^2}$

ρ̂ l $\hat{\rho}_l$ is asymptotically normal with mean zero and variance 1/T。

白噪声

A sequence of independent and identically distributed random variables with finite mean and variance.

Gaussian white noise:
$r_t$ is normally distributed with mean zero and variance $\sigma^2$ .

linear time series 线性时间序列

r t = μ + \sum i = 0 \infty ψ i a t - i = μ + a t + ψ 1 a t - 1 + ψ 2 a t - 2 + \dots

$r_t=\mu+\sum_{i=0}^{\infty}\psi_ia_{t-i} =\mu+a_t+\psi_1a_{t-1}+\psi_2a_{t-2}+\cdots$
其中

{at} $\{a_t\}$ 是白噪声，

ψ0=1 $\psi_0=1$ 。

E (r t) = μ, V a r (r t) = σ 2 a \sum i = 0 \infty ψ 2 i

$E(r_t)=\mu,\quad Var(r_t)=\sigma_a^2\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i^2$

AR(1) Model

⟹ r t = ϕ 0 + ϕ 1 r t - 1 + a t E (r t | r t - 1) = ϕ 0 + ϕ 1 r t - 1, V a r (r t | r t - 1) = V a r (a t) = σ 2 a

$\begin{align*} &r_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}+a_t\\ \Longrightarrow \quad & E(r_t|r_{t-1})=\phi_0+\phi_1r_{t-1},\\ \quad &Var(r_t|r_{t-1})=Var(a_t)=\sigma_a^2 \end{align*}$
Given the past return

rt−1 $r_{t-1}$ , the current return is centered around

ϕ0+ϕ1rt−1 $\phi_0+\phi_1r_{t-1}$ , with standard deviation

σa $\sigma_a$ .

Property

⟹ ⟹ ⟹ E (r t) = ϕ 0 + ϕ 1 E (r t - 1) μ = ϕ 0 + ϕ 1 μ μ = ϕ 0 1 - ϕ 1 r t - μ = ϕ 1 (r t - 1 - μ) + a t

$\begin{align*} &E(r_t)=\phi_0+\phi_1E(r_{t-1})\\ \Longrightarrow\quad &\mu=\phi_0+\phi_1\mu\\ \Longrightarrow\quad &\mu=\frac{\phi_0}{1-\phi_1}\\ \Longrightarrow \quad&r_t-\mu=\phi_1(r_{t-1}-\mu)+a_t \end{align*}$

平稳性条件为 $|\phi_1|<1$ 。

r t - μ ⟹ = ϕ 1 (r t - 1 - μ) + a t = a t + ϕ 1 a t - 1 + ϕ 21 a t - 2 + \dots = \sum i = 0 \infty ϕ i 1 a t - i c o v (r t, a t + 1) = E [(r t - μ) a t + 1] = 0 c o v (r t - 1, a t) = E [(r t - 1 - μ) a t] = 0 c o v (a t, r t) = E (a t (r t - μ)) = E (a t ϕ 1 (r t - 1 - μ) + a 2 t) = V a r (a t) = σ 2 a

$\begin{align*} r_t-\mu&=\phi_1(r_{t-1}-\mu)+a_t\\ &=a_t+\phi_1a_{t-1}+\phi_1^2a_{t-2} +\cdots\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\phi_1^ia_{t-i}\\ \Longrightarrow \quad& cov(r_t,a_{t+1})=E[(r_t-\mu)a_{t+1}]=0\\ &cov(r_{t-1},a_{t})=E[(r_{t-1}-\mu)a_{t}]=0\\ & cov(a_t,r_t)=E(a_t(r_t-\mu))=E(a_t\phi_1(r_{t-1}-\mu)+a_t^2)\\ &\quad\quad=Var(a_t)=\sigma_a^2 \end{align*}$
即解释变量

rt−1 $r_{t-1}$ 与残差

at $a_t$ 是不相关的。

γ l = c o v (r t, r t - l) = E [(r t - μ) (r t - l - μ)] = E [(ϕ 1 (r t - 1 - μ) + a t) (r t - l - μ)] = ϕ 1 E [(r t - 1 - μ) (r t - l - μ)] f o r l > 0

$\begin{align*} \gamma_l&=cov(r_t,r_{t-l})\\ &=E[(r_t-\mu)(r_{t-l}-\mu)]\\ &=E[(\phi_1(r_{t-1}-\mu)+a_t)(r_{t-l}-\mu)]\\ &=\phi_1E[(r_{t-1}-\mu)(r_{t-l}-\mu)] \quad for \text{ }l>0 \end{align*}$

AR（1）的自相关函数

γ l = {ϕ 1 γ 1 + σ 2 a ϕ 1 γ l - 1 i f l = 0 i f l > 0

$\gamma_l=\left\{ \begin{array}{rcl} \phi_1\gamma_1+\sigma_a^2 & & if \text{ }l=0\\ \phi_1\gamma_{l-1} & & if \text{ }l>0\\ \end{array} \right.$

AR(2) Model

r t = ϕ 0 + ϕ 1 r t - 1 + ϕ 2 r t - 2 + a t r t - μ = ϕ 1 (r t - 1 - μ) + ϕ 2 (r t - 2 - μ) + a t

$r_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}+\phi_2r_{t-2}+a_t\\ r_t-\mu=\phi_1(r_{t-1}-\mu)+\phi_2(r_{t-2}-\mu)+a_t$
自相关函数：

γl=ϕ1γl−1+ϕ2γl−2 $\gamma_l=\phi_1\gamma_{l-1}+\phi_2\gamma_{l-2}$ , for

l>0 $l>0$

AR(p)

r t = ϕ 0 + ϕ 1 r t - 1 + ϕ 2 r t - 2 + \dots + ϕ p r r - p + a t

$r_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}+\phi_2r_{t-2}+\cdots+\phi_pr_{r-p}+a_t$
代码块语法遵循标准markdown代码，例如：

@requires_authorization
def somefunc(param1='', param2=0):
    '''A docstring'''
    if param1 > param2: # interesting
        print 'Greater'
    return (param2 - param1 + 1) or None
class SomeClass:
    pass
>>> message = '''interpreter
... prompt'''

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Markdown 是一种轻量级标记语言，它允许人们使用易读易写的纯文本格式编写文档，然后转换成格式丰富的HTML页面。 —— [ 维基百科 ]

使用简单的符号标识不同的标题，将某些文字标记为粗体或者斜体，创建一个链接等，详细语法参考帮助？。

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表格

Markdown　Extra　表格语法：

项目	价格
Computer	$1600
Phone	$12
Pipe	$1

可以使用冒号来定义对齐方式：

项目	价格	数量
Computer	1600 元	5
Phone	12 元	12
Pipe	1 元	234

定义列表

Markdown　Extra　定义列表语法：
项目１
项目２: 定义 A; 定义 B
项目３: 定义 C; 定义 D

定义D内容

代码块

代码块语法遵循标准markdown代码，例如：

@requires_authorization
def somefunc(param1='', param2=0):
    '''A docstring'''
    if param1 > param2: # interesting
        print 'Greater'
    return (param2 - param1 + 1) or None
class SomeClass:
    pass
>>> message = '''interpreter
... prompt'''

脚注

生成一个脚注1.

数学公式

使用MathJax渲染LaTex 数学公式，详见math.stackexchange.com.

行内公式，数学公式为： $\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N$ 。
块级公式：

x = - b \pm b 2 - 4 a c ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt 2 a

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

更多LaTex语法请参考这儿.

UML 图:

可以渲染序列图：

或者流程图：

关于 序列图 语法，参考这儿,
关于 流程图 语法，参考这儿.

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这里是脚注的内容. ↩

时间序列分析（一）