最大值减去最小值小于等于aim 的子数组数量(单调队列(最大值和最小值更新结构))
注意: 子数组必须是下标连续的，而且i ~ i自己也算一个子数组。
解析
这个题目也是使用单调队列(窗口内更新最大值和最小值)的结构来做，如果不懂单调队列先看这个博客。
先准备两个双端队列，分别是最大值更新结构和最小值更新结构 ：
- 先生成两个双端队列qmax和qmin，当子数组为arr[L…R]时，qmax维护了窗口子数组arr[L…R]的最大值更新结构，qmin维护了窗口子数组arr[L….R]的最小值更新结构；
- 当子数组arr[L….R]向右扩一个位置变成arr[L….R+1]时，qmax和qmin可以在O(1)时间内完成更新；并且可以在O(1)时间内得到窗口的最大值和最小值；
- 当子数组arr[L….R]左边缩一个位置变成arr[L+1….R]是，qmax和qmin可以在O(1)时间内完成更新；并且可以在O(1)时间内得到窗口的最大值和最小值；
然后，我们需要证明两个结论:
下面看具体过程:
- 找到一个L，此时令R不断向右移动，表示arr[L…R]一直向右扩大，并不断更新qmax和qmin的结构，保证qmax和qmin始终维持动态窗口最大值和最小值的更新结构；
- 一旦出现arr[L….R]中出现max - min > aim的情况，R向右扩的过程停止(上面证明结论的第二条)，此时arr[L….R-1]，arr[L….R-2]，arr[L….R-3]….arr[L,L]都是满足条件的子数组(上面证明结论的第一条)。也就是说，所以必须以arr[L]开头的子数组，总共有R - L 个，res += R-L；
- 然后要注意两个队列中的过期的元素，也就是说队头的元素考虑完了之后要弹出；
- 然后，继续考虑下一个L，直到循环结束；
由于L,R的值是一直增加的(不会减小)，且所有的下标最多进qmax、qmin一次，出qmax、qmin一次，时间复杂度为O(n)。
/**
* O(n)的解法
* @param arr
* @param aim
* @return
*/
public static int getNum2(int[] arr,int aim){
if(arr == null || arr.length == 0)return 0;
LinkedList<Integer>qmax = new LinkedList<>();
LinkedList<Integer>qmin = new LinkedList<>();
int res = 0;
int L = 0,R = 0;
while(L < arr.length){
while(R < arr.length){//这个While循环就是当L确定的时候，R往右扩到不能再扩
while(!qmin.isEmpty() && arr[qmin.peekLast()] >= arr[R]) qmin.pollLast(); //最小值更新结构
qmin.addLast(R);
while(!qmax.isEmpty() && arr[qmax.peekLast()] <= arr[R]) qmax.pollLast();//最大值更新结构
qmax.addLast(R);
//直接取得最大值和最小值判断一下
if(arr[qmax.getFirst()] - arr[qmin.getFirst()] > aim)break; //直到扩到R不能再往右扩
R++; //否则当L确定的是R就一直往右扩
}
if(qmin.peekFirst() == L){ //最小值的更新结构判断下标是否过期
qmin.pollFirst();
}
if(qmax.peekFirst() == L){//最大值的更新结构判断下标是否过期
qmax.pollFirst();
}
res += R-L; //一次性的就榨取了所有以L开头的子数组的数量
L++; //换一个L开头
}
return res;
}完整的测试代码如下(包括使用O(n^3)方法来测试我们的O(n)方法):
import java.util.LinkedList;
/**
* 最大值减去最小值 <= num 的子数组数量
*/
public class GetNumOfMaxMinusMinSubArray {
/**
* O(n^3)次方解法
* @param arr
* @param aim
* @return
*/
public static int getNum(int[] arr,int aim){
if(arr == null || arr.length == 0)return 0;
int res = 0;
for(int i = 0; i < arr.length; i++){
for(int j = i; j < arr.length; j++){
if(ok(arr,i,j,aim))res++;
}
}
return res;
}
public static boolean ok(int[] arr,int start,int end,int aim){
int max = Integer.MIN_VALUE;
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int i = start; i <= end; i++){
max = Math.max(max,arr[i]);
min = Math.min(min,arr[i]);
}
return max - min <= aim;
}
/**
* O(n)的解法
* @param arr
* @param aim
* @return
*/
public static int getNum2(int[] arr,int aim){
if(arr == null || arr.length == 0)return 0;
LinkedList<Integer>qmax = new LinkedList<>();
LinkedList<Integer>qmin = new LinkedList<>();
int res = 0;
int L = 0,R = 0;
while(L < arr.length){
while(R < arr.length){//这个While循环就是当L确定的时候，R往右扩到不能再扩
while(!qmin.isEmpty() && arr[qmin.peekLast()] >= arr[R]) qmin.pollLast(); //最小值更新结构
qmin.addLast(R);
while(!qmax.isEmpty() && arr[qmax.peekLast()] <= arr[R]) qmax.pollLast();//最大值更新结构
qmax.addLast(R);
//直接取得最大值和最小值判断一下
if(arr[qmax.getFirst()] - arr[qmin.getFirst()] > aim)break; //直到扩到R不能再往右扩
R++; //否则当L确定的是R就一直往右扩
}
if(qmin.peekFirst() == L){ //最小值的更新结构判断下标是否过期
qmin.pollFirst();
}
if(qmax.peekFirst() == L){//最大值的更新结构判断下标是否过期
qmax.pollFirst();
}
res += R-L; //一次性的就榨取了所有以L开头的子数组的数量
L++; //换一个L开头
}
return res;
}
//生成随机数组
public static int[] generateRandomArray(int size,int value) { //生成的数组的最大长度和
int[] arr = new int[(int)( (size+1)*Math.random())];
for(int i = 0; i < arr.length; i++)arr[i] = (int)( (value+1)*Math.random()) - (int)(value*Math.random());
return arr;
}
//数组复制
public static int[] arrayCopy(int[] arr) {
if(arr == null)return null;
int[] copy = new int[arr.length];
for(int i = 0; i < arr.length; i++)copy[i] = arr[i];
return copy;
}
//打印出数组
public static void printArray(int[] arr) {
if(arr == null) return;
for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int testTime = 100; //测试100次
boolean sucess = true;
for(int i = 0; i < testTime; i++){
int size = 7,value = 10;
int k = (int)(10 * Math.random());
int[] arr = generateRandomArray(size, value);
int[] arr2 = arrayCopy(arr);
int res1 = getNum(arr,k);
int res2 = getNum2(arr2,k);
if(res1 != res2){
printArray(arr);
System.out.println(k);
System.out.println(res1 + " " +res2);
System.out.println("Wrong!");
sucess = false;
break;
}
}
if(sucess) System.out.println("Nice!");
}
}