hrbust 1864人类希望——kokoⅠ【数学+快速幂】

人类希望——kokoⅠ

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Description

 
       
       
       
     
在HUC星域CS星系，无数的战舰碎片静静的漂浮着，诉说着无言的悲壮。。。。。。这注定是人类历史最悲壮的一天，人类最强的舰队AC舰队在与异形的交战中全军覆没。。。。。。现在，异形大军正全速冲向地球，联邦政府打算做最后一搏，用尽人类的所有资源在打造一支究极无敌炒鸡银河舰队，而你，作为人类最强的科学家koko，需要优化战舰的人工智能系统。
#include <stdio.h>
int cases, caseno;
int n, K, MOD;
int A[1001];
int main() {
    scanf("%d", &cases);
    while( cases-- ) {
        scanf("%d %d %d", &n, &K, &MOD);
        int i, i1, i2, i3, ... , iK;
        for( i = 0; i < n; i++ ) scanf("%d", &A[i]);
        int res = 0;
        for( i1 = 0; i1 < n; i1++ ) {
            for( i2 = 0; i2 < n; i2++ ) {
                for( i3 = 0; i3 < n; i3++ ) {
                    ...
                    for( iK = 0; iK < n; iK++ ) {
                        res = ( res + A[i1] + A[i2] + ... + A[iK] ) % MOD;
                    }
                    ...
                }
            }
        }
        printf("Case %d: %d\n", ++caseno, res);
    }
    return 0;
}
你的任务是，编写一段程序，快速计算这段程序的结果，少年，人类的未来在你的肩上啊！

Input

输入以T开头，代表有T组样例
每组样例的第一行有三个数，n(1 ≤ n ≤ 1000), K(1<=K<2^31), MOD(1<=MOD<=35000)
下一行有n个数Ai(Ai保证在32位无符号整数范围内)

Output

对于每组样例输出程序的运行结果

Sample Input

Sample Output

Case 1: 6
Case 2: 36

Author

 小伙伴们@哈商大

题意：给出一个长度为n的序列P，进行一个操作：对K个序列P每次取出一个数，然后对取出的数求和，重复n^k次操作并求和，最后对总和取模

思路：当n和k都很大的时候，循环次数会变得很大很大，耗时就不用说了，所以需要寻求"捷径"

先对样例2进行分析 n=2 k=3

序列：1 2

根据取出的数我们可以得到2^3（n^k）个序列

1 1 1

1 1 2

1 2 1

1 2 2

2 1 1

2 1 2

2 2 1

2 2 2

这里的总和为36 结果就是36%35000=36

其实多试几组数据，我们不难发现这n^k个序列中的每个数字的出现次数都是相等的（数字相同也可以独立开，如1 1 2里的两个1可以看成是不同的）

那么对于一个序列A1 A2 A3......An（长度为n）组合出的k个序列

每个数字Ai（1<=i<=n）的出现次数为（n^k）*k/n即（n^(k-1)）*k

所以这k个序列的数的总和为A1*（n^(k-1)）*k+A2*（n^(k-1)）*k+A3*（n^(k-1)）*k+......+An*（n^(k-1)）*k

合并后为（A1+A2+A3+......+An）*（n^(k-1)）*k

由于n^k范围过大，我们对其进行快速幂取模即可

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,mod,t;
    long long k,a;
    scanf("%d",&t);
    for (int p=1; p<=t; p++)
    {
        scanf("%d%lld%d",&n,&k,&mod);
        int sum=0;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%lld",&a);
            sum=(sum+a%mod)%mod;
        }
        int ans=1;
        long long tmp=k-1;
        while(tmp>0)
        {
            if (tmp&1)
                ans=(ans*n)%mod;
            tmp>>=1;
            n=((n%mod)*(n%mod))%mod;
        }
        printf("Case %d: %d",p,(sum*ans*(k%mod))%mod);
    }
}

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