Sum of Remainders

◇题意◇

给定 $n，m$ ，求 $ans=\sum_{i=1}^{m}(n \mod i)$

$n, m (1 ≤ n, m ≤ 10^{13})$
断绝一切念想对吧

◇解析◇

做前内心戏

（模求和？？）&&（1e13）

模求和，难道需要我不会的运算定律？？？我强大的算术基本定理可不是瞎吹的！暴力吧？！

O (10^{13})

$O(10^{13})$ …….
不对不对，肯定是我看错了，擦眼睛再看一遍：

O (10^{13})

$O(10^{13})$ （看得脸都绿了)
对对对对对，你没有看错，就是

10^{13}

$10^{13}$ ；
“断绝一切念想”。
对，这就是想更优算法的理由！

严肃的分析

Ⅰ.模求和

对于一个可以说在编程路途中给我们无数麻烦的算术钉子户“ $mod$ ”大爷来说，在各种题目中躺在 $AC$ 道路上挡道是再平常不过的了，因此处理“ $mod$ ”是看完题的第一想法。处理成什么呢？？？这时，我们的老熟人“ $*$ ”“ $/$ ”在路上打了个招呼，于是，我们坚定地绕路走：

n \mod i = n - i \cdot ⌊ \frac{n}{i} ⌋ a n s = \sum_{i = 1}^{m} (n \mod i) a n s = n * m - \sum_{i = 1}^{m} i \cdot ⌊ \frac{n}{i} ⌋

$n \mod i=n-i\cdot\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\\ ans=\sum_{i=1}^{m}(n \mod i)\\ ans=n*m-\sum_{i=1}^{m}{i\cdot\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}$

Ⅱ.1e13

(Ⅰ)中的分析乍一眼看很有道理，当我考试想出来这些时我以为我能 $AC$ ，但抹了眼睛再看 $1e13$ ！！
完全没有解决啊！！！
不能放弃啊，我们把注意力集中到 $ans$ 的表达式上。

a n s = n * m - \sum_{i = 1}^{m} i \cdot ⌊ \frac{n}{i} ⌋

$ans=n*m-\sum_{i=1}^{m}{i\cdot\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}$

n * m

$n*m$ 显然是容易算的，因此：有一定计算难度的是后面的

\sum_{i = 1}^{m} i \cdot ⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\sum_{i=1}^{m}{i\cdot\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}$
多年计算的经验告诉我们

⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 中有许多值是一样的，而拥有相同商的

i

$i$ 也应该是连续的，于是

[1, m]

$[1,m]$ 构成了由许多个具有不同

⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 值的区间组成的大区间

这样我们就把6次计算收缩到4个可利用等差数列求和公式和乘法计算的区间，进行有效的收缩，而当 $n,m$ 更大，收缩效果会更明显

Ⅲ.寻找区间

感觉已经距 $AC$ 很近了！（真的是这样吗）
注意上图中每一段区间的开始和结束
$①:1,1$ —— $②:2,2$ —— $③:3,4$ —— $④:5,6$
（如果 $m=8$ 则 $④:5,8$ ）
很容易的发现所有的区间构成一个连续的数列，即 $[1,m]$
换句话说，就是当前区间的起点就是上一个的结尾+1（这不是废话吗）
关于找结尾我们有很多种算法
⑴显然是 $m$ 的因数（从小到大），不好写且不优；
⑵设区间 $i$ 开头为 $l_i$ ,结尾 $r_i$

l_{i} = r_{i - 1} + 1 r_{i} = n / ⌊ \frac{n}{l_{i}} ⌋

$l_i=r_{i-1}+1\\ r_i=n/\lfloor \frac{n}{l_i} \rfloor$
显然

l_{1} = 1, r_{1} = 1

$l_1=1,r_1=1$ ,所以

[1, m]

$[1,m]$ 就可以完美的递推表达出来了。

最后一个区间结尾是 $m$ ，不要写得陶醉停不下来

Ⅳ.计算答案

根据上文定义，对于 $[l_i,r_i]$ 所有值中有相同 $x_i$ （下取整过后的商）
开始时

a n s = n \cdot m

$ans=n\cdot{m}$
对于这段区间

a n s

$ans$ 应该减去

\frac{(r_{i} - l_{i} + 1) \cdot (l_{i} + r_{i})}{2} \cdot x_{i}

$\frac{(r_i-l_i+1)\cdot(l_i+r_i)}{2}\cdot{x_i}$
干完所有的区间，就ok了

◇代码◇

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Mod=int(1e9)+7;
#define LL long long

LL n,m;
LL ans,l=1,r,x;

LL dcsl(LL x) { 
    return (x%Mod)*((x+1)%Mod)/2%Mod;
}
LL Dcsl(LL i,LL j) {
    return dcsl(j)-dcsl(i-1);
}
LL Add(LL x,LL y) {
    return ((x%Mod)+(y%Mod))%Mod;
}
LL Sub() {
    ans=Add(ans,Mod-(x*(Dcsl(l,r)))%Mod);
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ans=((n%Mod)*(m%Mod))%Mod;
    m=min(m,n);
    //当n>i,x=0,没必要再算
    for(;l<=m;l=r+1) {
        x=n/l;
        r=min(m,n/x);
        Sub();
    }
    printf("%lld",ans);
}

再说两句

1. $mod$ 才是最骚的。
2.第二句。

$Thanks$ $For$ $Reading!$

CodeForces - 616E Sum of Remainders