本节课主要的内容：
典型问题的递归框架
（1） 排列问题
（2） 组合计数问题
（3） 组合枚举问题
（4） 递归设计-条条大路通罗马
引入：
——————1————————1————————1————————————1————————————1
有一根27厘米的细木杆，在第3厘米、7厘米、11厘米、17厘米、23厘米这五个位置上各有一只蚂蚁。* 木杆很细，不能同时通过一只蚂蚁。开始 时，蚂蚁的头朝左还是朝右是任意的，它们只会朝前走或调头，
* 但不会后退。当任意两只蚂蚁碰头时，两只蚂蚁会同时调头朝反方向走。假设蚂蚁们每秒钟可以走一厘米的距离。
* 编写程序，求所有蚂蚁都离开木杆 的最小时间和最大时间。
思路：
题1：蚂蚁感冒
长100厘米的细长直杆子上有n只蚂蚁。它们的头有的朝左，有的朝右。 每只蚂蚁都只能沿着杆子向前爬，速度是1厘米/秒。 当两只蚂蚁碰面时，它们会同时掉头往相反的方向爬行。 这些蚂蚁中，有1只蚂蚁感冒了。并且在和其它蚂蚁碰面时，会把感冒传染给碰到的蚂蚁。 请你计算，当所有蚂蚁都爬离杆子时，有多少只蚂蚁患上了感冒。
- 输入
-
第一行输入一个整数n (1 < n < 50), 表示蚂蚁的总数。
接着的一行是n个用空格分开的整数 Xi (-100 < Xi < 100), Xi的绝对值，表示蚂蚁离开杆子左边端点的距离。正值表示头朝右，负值表示头朝左，数据中不会出现0值，也不会出现两只蚂蚁占用同一位置。其中，第一个数据代表的蚂蚁感冒了。 - 输出
- 要求输出1个整数，表示最后感冒蚂蚁的数目。
- 样例输入
-
35 -2 85-10 8 -20 12 25
- 样例输出
-
13
递归的真正难点在于：相似性的设计，在于如何设计参数才能相似
3.2排列问题 = 排列计数 + 排列枚举
关键点：不重复不遗漏
题2：已知不同字母构成的串，求它的全排列
第一种解法：直观递归
第二种：数组
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(char* a,char* b){
char temp;
temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
void permute(char *a, int low, int high)
{
int j;
if (low == high) //当low==high的时候，此时的a就是其中一个排列
printf("%s\n", a);
else
{
for (j = low; j <= high; j++) //每个元素与第一个元素交换
{
if (a[low] == a[j] && j != low) //为避免生成重复排列，当不同位置的字符相同时不再交换
continue;
swap((a + low), (a + j));
permute(a, low + 1, high); //交换后得到子序列，再用函数得到子序列的全排列
swap((a + low), (a + j)); //backtrack回溯到原来的字符串状态，复原元素
}
}
}
int main()
{
//method2
char a[] = "ABCD";
permute(a, 0, 3);
return 0;
}视频中老师讲的我有点不理解所以就在网上找了全排列的一些解释
中心思想:
设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}.
Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。
（1）当n=1时，Perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素；
（2）当n>1时，Perm(R)可由(r1)+Perm(R1),(r2)+Perm(R2),…,(rn)+Perm(Rn)构成。
我们来个实际的例子,假设有一数列1,2,3,4
那么1,2,3,4的全排列
perm({1,2,3,4})=1perm({2,3,4})+2perm({1,3,4})+3perm({1,2,4})+4perm(1,2,3)
也就是取出序列中的每一个元素作为序列的开头
注意：这里介绍一下C++ 标准库STL 中提供了计算下一个排列的函数next_permutation，利用该函数我们可以方便
地获得全排列。#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
string s = "ABCDEF";
sort(s.begin(),s.end());
do{
cout<<s<<"\n";
}while(next_permutation(s.begin(),s.end()));
return 0;
}3.3 排列的应用
题3：搭积木
小明最近喜欢搭数字积木。一共有10块积木，每个积木上有一个数字，0~9。
搭积木规则：
每个积木放到其它两个积木的上面，并且一定比下面的两个积木数字小。
最后搭成4层的金字塔形，必须用完所有的积木。
下面是两种合格的搭法：
0
1 2
3 4 5
6 7 8 9
0
3 1
7 5 2
9 8 6 4
请你计算这样的搭法一共有多少种？
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
void show(int a[])
{
cout<<" "<<a[0]<<endl;
cout<<" "<<a[1]<<" "<<a[2]<<endl;
cout<<" "<<a[3]<<" "<<a[4]<<" "<<a[5]<<endl;
cout<<a[6]<<" "<<a[7]<<" "<<a[8]<<" "<<a[9]<<endl;
}
bool near(int a,int b)
{
if(a+1==b || a==b+1) return true;
return false;
}
void test(int a[])
{
if(a[1]<a[0]) return;
if(a[2]<a[0]) return;
if(a[3]<a[1]) return;
if(a[4]<a[1]) return;
if(a[4]<a[2]) return;
if(a[5]<a[2]) return;
if(a[6]<a[3]) return;
if(a[7]<a[3]) return;
if(a[7]<a[4]) return;
if(a[8]<a[4]) return;
if(a[8]<a[5]) return;
if(a[9]<a[5]) return;
show(a);
}
//a 待排元素
//num 数组元素个数
//k当前考虑位置
void function(int a[],int num,int k)
{
if(num-1 == k)
{
test(a);
return;
}
for(int i=k; i<num; i++)
{
{int t=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=t;}
function(a,num,k+1);
{int t=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=t;}
}
}
int main()
{
int a[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
function(a,10,0);
return 0;
}题4：组合（不计顺序）
引入：有m个不同的球取出n个有几种情况？
解1
#include<iostream>
using namespace std;
//m个不同的球,取出n个
int f(int m,int n)
{
if(n==m)
return 1;
if(n==0)
return 1;
//假设有一个特殊的球，一定取出、不取出
return f(m-1,n) + f(m-1,n-1);
}
int main()
{
cout<<f(5,3);
return 0;
} 解2
#include<iostream>
using namespace std;
//ABCDE中取出3个
int main()
{
for(char i= 'A';i<='E';i++)
{
for(char j = i+1;j<='E';j++)
{
for(char k = j+1;k <='E';k++)
{
cout<<i<<j<<k<<endl;
}
}
}
}题：有重复的字母中求取出m个所有组合
例如： "AAABBCCCCCCDD" 中取3个字母的所有组合
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
char arr[10] = { 0 };
for (char i = 'A'; i <= 'E'; i++)
{
for (char j = (char)(i + 1); j <= 'E'; j++){
for (char k = (char)(j + 1); k <= 'E'; k++){
arr[0] = i;
arr[1] = j;
arr[2] = k;
printf("%s ", arr);
}
}
}
return 0;
}实际应用题5：
X星球要派出一个5人组成的观察团前往W星。
其中：
A国最多可以派出4人。
B国最多可以派出2人。
C国最多可以派出2人。
D国最多可以派出1人。
E国最多可以派出1人。
F国最多可以派出3人。
那么最终派往W星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 6
#define M 5
#define BUF 1024
//a：可取最大个数的限定
//k: 当前考虑位置
//m: 目标名额
//b: 已经决定的代表团成员
void f(int a[],int k,int m,char b[])
{
int i,j;
if(k==N)
{
b[M] = 0;
if(m==0)
cout<<b<<endl;
return;
}
for(i=0;i<=a[k];i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
b[M-m+j] = k+'A';
}
f(a,k+1,m-i,b);
}
}
int main()
{
int a[N]={4,2,2,1,1,3};
char b[BUF];
f(a,0,M,b);
return 0;
}作业题6：扑克序列
A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。
要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌。
请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。
例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。
思路(全排列（含有重复）、结果放入集合可以去重复)
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
char para[8];
int findit(char a, int index)
{
for (int i = index; i < 8; i++)
{
if (para[i] == a)return i;
}
}
int main()
{
char card[8] = { 'A', 'A', '2', '2', '3', '3', '4', '4' };
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
para[0] = card[i];
for (int i2 = 0; i2 < 8; i2++)
{
if (i2 == i)continue;
para[1] = card[i2];
for (int i3 = 0; i3 < 8; i3++)
{
if (i3 == i || i3 == i2)continue;
para[2] = card[i3];
for (int i4 = 0; i4 < 8; i4++)
{
if (i4 == i || i4 == i2 || i4 == i3)continue;
para[3] = card[i4];
for (int i5 = 0; i5 < 8; i5++)
{
if (i5 == i || i5 == i2 || i5 == i3 || i5 == i4)continue;
para[4] = card[i5];
for (int i6 = 0; i6 < 8; i6++)
{
if (i6 == i || i6 == i2 || i6 == i3 || i6 == i4 || i6 == i5)continue;
para[5] = card[i6];
for (int i7 = 0; i7 < 8; i7++)
{
if (i7 == i || i7 == i2 || i7 == i3 || i7 == i4 || i7 == i5 || i7 == i6)continue;
para[6] = card[i7];
for (int i8 = 0; i8 < 8; i8++)
{
if (i8 == i || i8 == i2 || i8 == i3 || i8 == i4 || i8 == i5 || i8 == i6 || i8 == i7)continue;
para[7] = card[i8];
int in1 = findit('A', 0);
int in2 = findit('A', in1 + 1);
int in3 = findit('2', 0);
int in4 = findit('2', in3 + 1);
int in5 = findit('3', 0);
int in6 = findit('3', in5 + 1);
int in7 = findit('4', 0);
int in8 = findit('4', in7 + 1);
//cout<<in1<<" "<<in2<<" "<<in3<<" "<<in4<<" "<<in5<<" "<<in6<<" "<<in7<<" "<<in8<<endl;
if ((in2 - in1) == 2 && (in4 - in3) == 3 && (in6 - in5) == 4 && (in8 - in7) == 5)
{
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
cout << para[i] << " ";
}
cout << endl;
}
}
}
}
}
}
}
}
}
system("pause");
return 0;
}