一些数学小结论（可能会更新）

1.错排公式

来源：当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数D(n)

推导：

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：

（1）把它放到位置n，那么，剩下n-2个元素（第n个和第k个已经放好啦），就有D(n-2)种方法

（2）不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素（只有第n个是放好的），有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

应用例题：HDU-2048 神、上帝以及老天爷

2.组合公式

来源：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

公式： $\textrm{C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

性质： $\textrm{C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\textrm{C}_{n}^{n-m}$

代码：

long long int C(int n,int m)
{  
    long long x=1;  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
        x=x*(n-i+1)/i;  
    return x;  
}

3.GCD公式

公式： $gcd(a^{m}-b^{m},a^{n}-b^{n})=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)},\qquad a>b$

应用例题：HDU-2685 I won’t tell you this is about number theory

关于这道题多写一段快速幂

int quickpow(int a,int b){
  int r=1,base=a;
  while(b){
    if(b&1) r*=base; //这里b&1表示取b二进制的最末位
    base*=base;
    b>>=1; //这里>>=表示去掉b的二进制最后一个位并赋值给b
  }
  return r;
}

4.素数筛选

原理：从2~n，找到一个数（显然它是一个素数），就删去它的倍数

注意：仅仅需要i*i<=n即可（对于任何一个小于n的x，如果n不是x的倍数，那么n肯定也不是n/x的倍数）

int prime[500000];
void choseprime(int n)
{
    prime[1]=prime[2]=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(prime[i]==0)
            for(int j=2*j;j<=n;j+=i)
                prime[j]=1;
}

5.欧拉函数

定义：小于n的正整数中与n互质的的数的数目

性质：

1.积性函数：若m、n互质， $\varphi (mn)=\varphi(m)\varphi (n)$

2.若n是质数p的k次幂， $\varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$

思路：

设一个数 $A=a_{1}^{x_{1}}\cdot a_{2}^{x_{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{x_{n}}$ ，那么A的欧拉函数：

$phi(A)=a_{1}^{x_{1}-1}\cdot (a_{1}-1)\cdot a_{2}^{x_{2}-1}\cdot (a_{1}-1)\cdot \cdots \cdot a_{n}^{x_{n}-1}(a_{n}-1)$

整理这个公式，得到如下公式：

$phi(A)=\frac{A\cdot (a_{1}-1)\cdot (a_{2}-1)\cdot \cdots \cdot(a_{n}-1) }{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}$

做法：令temp=A，然后每找到一个A的质因子就从temp中除掉一个此因子然后再乘上（该因子-1）

long long int phi(long long int a)
{
    long long int temp = a;
    for(long long int i=2; i*i<=a; i++)
        if(a%i==0)
        {
            while(!(a%i))
                a/=i;
            temp=temp/i*(i-1);
        }
    if(a!=1)
        temp=temp/a*(a-1);
    return temp;
}