【期望dp-斜率优化】CF673E Levels and Regions

【题目】
原题地址
题意：将 $n$ 个数字分成连续 $k$ 段，要将所有数字操作一遍，问期望操作次数最小。
代价的计算：设当前段到操作第i个数字，则操作一次有 $\frac {t_i} {sum_i}$ 的概率，到下一个数字，否则留在这个数字。其中 $sum_i$ 表示这段数字到第 $i$ 个的前缀和， $t_i$ 表示第 $i$ 个数字

【解题思路】
从只分成一段开始入手，根据期望的套路我们从后往前dp，则 $f_i=p*f_{i+1}+(1-p)*f_i+1$ ，其中 $p=\frac {t_i} {sum_i}$
接下来设f_{l,r}表示[l,r]这段的期望的话，我们可以推导：

\begin{aligned} (56) & f_{l, r} & = \sum_{i = l}^{r} \frac{\sum_{j = l}^{i}}{t_{j}} \\ (57) & = \sum_{i = l}^{r} \frac{s u m_{i} - s u m_{l - 1}}{t_{i}} \\ (58) & = \sum_{i = l}^{r} \frac{s u m_{i}}{t_{i}} - s u m_{l - 1} * \sum_{i = l}^{r} \frac{1}{t_{i}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{l,r} &=\sum_{i=l}^r \frac {\sum_{j=l}^i} {t_j} \\ &=\sum_{i=l}^r \frac {sum_i-sum_{l-1}} {t_i}\\ &=\sum_{i=l}^r \frac {sum_i} {t_i} - sum_{l-1}*\sum_{i=l}^r \frac 1 {t_i}\\ \end{align}$
设

A_{i} = \sum \frac{s u m_{i}}{t_{i}} ， B_{i} = \sum \frac{1}{t_{i}}

$A_i=\sum \frac {sum_i} {t_i}，B_i=\sum \frac 1 {t_i}$
那么

f_{l, r} 就 是 m i n {A_{r} - A_{l - 1} - s u m_{l - 1} * (B_{r} - B_{r - 1})}

$f_{l,r}就是min \{A_r-A_{l-1}-sum_{l-1}*(B_r-B_{r-1})\}$

设dp_{i,k}表示前i个数分成k段的最小期望，那么有：
$dp_{i,k}=min(dp_{j,k-1}+A_i-A_j-sum_j*(B_i-B_j))$

经过冷静分析，发现这是一个斜率优化的柿子，于是我们设 $k<j$ ，且j比 $k$ 优，可以最后得到：

\frac{(g_{j} - A_{j} + s u m_{j} * B_{j}) - (g_{k} - A_{k} + s u m_{k} * B_{k})}{s u m_{j} - s u m_{k}} < B_{i}

$\frac {(g_j-A_j+sum_j*B_j)-(g_k-A_k+sum_k*B_k)} {sum_j-sum_k} < B_i$
这里

g_{i}

$g_i$ 表示分成

k - 1

$k-1$ 段时处理出来的dp数组。

然后因为要求一个最小值，我们显然要维护一个下凸壳，维护的点就是 $((g_i-A_i+sum_i*B_i),sum_i)$
单调队列优化后我们就可以在 $O(nk)$ 的复杂度下解决这道题。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;

typedef double db;
typedef pair<db,db> pdd;
const int N=2e5+10;
int n,K;
db A[N],B[N],S[N],f[N],g[N];
pdd q[N];

int read()
{
    int ret=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {c=getchar();}
    while(isdigit(c)) {ret=ret*10+(c^48);c=getchar();}
    return ret;
}

void init()
{
    n=read();K=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        db x=read();
        S[i]=S[i-1]+x;f[i]=g[i]=A[i]=A[i-1]+S[i]/x;B[i]=B[i-1]+1.0/x;
        //printf("%lf %lf %lf\n",A[i],B[i],S[i]);
    }
}

db cross(pdd A,pdd B)
{
    return (A.se-B.se)/(A.fi-B.fi);
}

void solve(int d)
{
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(r-l && cross(q[l],q[l+1])<B[i]) ++l;
        f[i]=q[l].se+A[i]-q[l].fi*B[i];
        pdd tmp=mkp(S[i],g[i]-A[i]+S[i]*B[i]);
        //printf("%lf %lf %lf %lf\n",A[i],B[i],q[l].fi,q[l].se);
        while(r-l && cross(q[r],tmp)<cross(q[r-1],tmp)) --r;
        q[++r]=tmp;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) g[i]=f[i];
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("CF673E.in","r",stdin);
    freopen("CF673E.out","w",stdout);
#endif 
    init();
    for(int i=2;i<=K;++i)
        solve(i);
    printf("%0.10lf\n",f[n]);
    return 0;
}

【总结】
算是一道比较简单的题吧qwq，不过还是要注意细节，刚开始被几组小数据卡了qwq。

【期望dp-斜率优化】CF673E Levels and Regions

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