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分水岭算法对噪声比较敏感，容易出现过分割。常见的处理过分割的方法包括：
1). 预处理，图像降噪；
2). 应用标记 (marker)。选择标记需要用户的参与，图像结构的先验知识;
3). 区域融合
本篇博客介绍，基于区域近邻图（RegionAdjacency Graph ，RAG）融合的过分割后处理方法。
此方法依赖于已分割的区域个数和噪声方差，个数越多效果越差，处理时间越长。最糟的情况是每个像素为1个区域。因而，为了减少分水岭分割的个数，需要对图像先降噪，再分水岭分割，最后区域融合

相似度计算

相似度用来判断两个邻近区域是不是应该融合。区域就是初始分割后，属于同一标记的像素集合。
K个区域的RAG, 表示为G=(V,E)，其中顶点集 $V={1,2...,K}$ ，对应的边集合 $E\subset{V \times V}$ 。每个顶点节点代表一个区域，边表示和邻近区域相连，边权重就是两个区域之间的相似度，如图所示：
RAG
很自然的我们会想到用两个邻近区域的均值的距离来衡量相似性，距离越小越相似，不相邻的区域我们直接令相似度为无穷大。但是不同区域的个数不同，对于较小的区域我们倾向于将它和近邻融合，因而我们将区域的个数的信息作为权重来调整相似度。
因此相似度的计算方式定义如下：

δ (R_{M}^{* i}, R_{M}^{* j}) = \frac{| | R_{M}^{* i} | | \cdot | | R_{M}^{* j} | |}{| | R_{M}^{* i} | | + | | R_{M}^{* j} | |} [μ (R_{M}^{* i}) - μ (R_{M}^{* j})]^{2} I (i, j)

$\delta(R_M^{*i},R_M^{*j})=\frac{||R_M^{*i}||\cdot ||R_M^{*j}||}{||R_M^{*i}||+ ||R_M^{*j}||}[\mu(R_M^{*i})-\mu(R_M^{*j})]^2\mathcal{I(i,j)}$

I (i, j) = {\begin{cases} 1, & i f R_{M}^{* i}, R_{M}^{* j} i s a d j a c e n t \\ + \infty, & o t h e r w i s e . \end{cases}

$\mathcal{I(i,j)}= \begin{cases} 1, & if R_M^{*i},R_M^{*j} is adjacent\cr +\infty, &otherwise. \end{cases}$

R_{M} = {R_{M}^{1}, R_{M}^{2}, . . ., R_{M}^{M}}

$R_M=\{R_M^1,R_M^2,...,R_M^M\}$ 表示图像Y的M个区域集合。

R_{M}^{k} = {p_{k, 1}, p_{k, 2}, . . ., p_{k, | | R_{M}^{k} | |}}

$R_M^k=\{p_{k,1},p_{k,2},...,p_{k,||R_M^k||}\}$ 是第k个区域

R_{M}^{k}

$R_M^k$ 的样本集。

| | R | |

$||R||$ 表示集合的基数，有限集的基数（cardinality ）就是传统概念下的“个数”。

μ (R_{M}^{k})

$\mu(R_M^k)$ 是每部分的均值：

μ (R_{M}^{k}) = \frac{1}{| | R_{M}^{k} | |} \sum_{i = 1}^{| | R_{M}^{k} | |} Y (p_{k, i})

$\mu(R_M^k)=\frac{1}{||R_M^k||}\sum_{i=1}^{||R_M^k||}Y(p_{k,i})$
最后的分割个数n由

δ (\cdot)

$\delta(\cdot)$ 决定，如果

δ

$\delta$ 小于某个阈值则迭代终止。阈值可以根据噪声分布来确定。

算法流程

输入：K部分的RAG,K-RAG

迭代 util $min(\delta)>= Treshold$

(K-i)-RAG的边集合中找到最相似的边（ $\delta$ 最小）
融合最相似边对应的两个区域顶点，得到（K-i-1）-RAG
更新顶点和边集合

输出：（K-n）-RAG

实例

处理步骤：
1. 对输入图像进行平滑滤波
2. 求梯度图像，对梯度进行阈值
3. 分水岭分割
4. 区域融合

对此算法来说，梯度图像的阈值，影响着区域融合的效果和计算时间。更大的阈值意味着分水岭分割后区域个数越少，计算速度越快。但是过大的阈值会丢失边缘轮廓。

% 读取图像
I=imread('cameraman.tif');
% 估计图像的噪声方差
varn=EstimaOfNoise(I);
% 图像平滑，目的是减少较小的尺寸区域
h=fspecial('average',[3 3]);
SI=imfilter(I,h);
figure,imshow(SI);title('smoothed Image');
% 求梯度图像
h1=[-1,0,1];
h2=h1';
Ix=imfilter(double(SI),h1,'replicate');
Iy=imfilter(double(SI),h2,'replicate');
gradmag = sqrt(Ix.^2 + Iy.^2);%求模
figure,imshow(gradmag./max(gradmag(:)));title('gradient Image');
% candidate egde pixels which is regional maxima 
CanI=imregionalmax(gradmag)
% 调整梯度图像，只平滑非candidate egde pixels
h=fspecial('average',[3 3]);
Gs=imfilter(gradmag,h);
Gs(CanI~=0)=gradmag(CanI~=0);
% 阈值梯度图像
bw=zeros(size(I));
T=10*sqrt(varn);
bw(Gs>T)=gradmag(Gs>T);
figure,imshow(bw);title('bw')
% 分水岭分割
label=watershed(bw);
RGBLabel=label2rgb(label);
figure,imshow(RGBLabel);
title(' watershed with treshold Image of gradient Image');
% 基于最近邻图的区域融合
Rlabel=RegionMerging(I,label,1000,2);
RGBRlabel=label2rgb(Rlabel);
figure,imshow(RGBRlabel);title('watershed segment after RegionMerging');

初始分水岭分割结果如图所示
步骤1初始分水岭分割结果

区域融合后的结果如图所示

参考文献

[1]. Haris K, Efstratiadis S N, Maglaveras N, et al. Hybrid image segmentation using watersheds and fast region merging.[J]. IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society, 1998, 7(12):1684-1699.

过分割后处理——区域融合 ( Region Merging)

相似度计算

算法流程

实例

参考文献

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