[虚树] [LCA] [Treap] [CH Round #56] 异象石

题目传送门
这题是和某JMS一中联考的题……也不知道NOIP模拟赛为什么会有平衡树和虚树的知识估计是卡AK的，据说SDOI2015的寻宝游戏是一道题……
虚树可以处理一类树上问题，每次操作为树上的点打标记，询问打上标记的一类点的性质。这种性质与未打标记的点无关或可以消除这种影响。
很自然想到把这些点单独拎出来建一棵新树，在新树处理所有询问，可是单独拎出来点破坏了原有的父子信息，所以我们把LCA也拽出来，这样就能根据这重建出一棵虚树了……
可是这道题需要动态改变虚树，并且在虚树上询问……
既然我们要为一棵树加入一个点，求最小距离，当然是连离这个点最近的点的边。如果我们做虚树的DFS序，所求答案就是DFS序中相邻两点的距离和，加入一个点相当于在虚树DFS序的序列中插入一个点。
那怎么操作呢？比如要在$a,b$的连续序列里插入$c$变成$a,c,b$，就需要加上$\text{dis}(a,c)+\text{dis}(b,c)$，减去$\text{dis}(a,b)$，但是这样加最终答案就需要除以2，因为同一条路径会计算两遍。
删除是同理的，减去$\text{dis}(a,c)+\text{dis}(b,c)$，加上$\text{dis}(a,b)$。
因为我们要快速找到这个DFS序列里$c$要插入的位置之前和之后的点，所以用一棵平衡树维护这个虚树的DFS序。
时间复杂度$O(n\log_2 n)$
原本这道题是用来卡AK的……不过我觉得dayu的题才是真正成功地卡ak题蛤蛤蛤蛤
Code