序列计数(count)

Portal -->broken qwq

Description

​​　　 给你一个长度为\(n\)的序列，序列中的每个数都是不超过\(m\)的正整数，求满足以下两个条件的序列数量：

1.序列中至少有一个质数

2.序列中\(n\)个数之和为\(p\)的倍数

​​　　 数据范围：\(1<=n<=10^9,1<=m<=2*10^7,1<=p<=100\)

Solution

​​　　 我的妈呀真实智力康复。。为什么连最基础的矩乘优化都忘了==

​​　　 记\(f[i][j]\)表示前\(i\)个数和模\(p\)为\(j\)的答案，然后转移我们矩乘一下就好了

​　　 至于必须满足其中一个数是质数，我们考虑容斥，先算出所有的，然后再把所有的素数去掉再算一遍转移矩阵，然后再算一次答案两个相减就好了

​​　　 然而如果像我一开始一样弱智写了个\(n^3\)矩乘只能拿\(50\)

​​　　 这题实际上可以直接\(f[i+1][(j+k)\%p]=f[i][j]*f[i][k]\)就完事了，所以只要\(n^2\)就好了，真实智力康复qwq

​　　 

​​　　 代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int M=2*(1e7)+10,MOD=20170408;
int add(int x,int y){return (1LL*x+y)%MOD;}
int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
int n,m,p,Ans1,Ans2,cnt;
struct Mtrix{/*{{{*/
    int a[110];
    int n;
    void init(int _n){n=_n;memset(a,0,sizeof(a));}
    void setUnit(int _n){init(_n);a[0]=1;}
    friend Mtrix operator * (Mtrix &x,Mtrix &y){
        int tmp;
        Mtrix ret;
        ret.init(x.n);
        for (int i=0;i<ret.n;++i)
            for(int j=0;j<ret.n;++j){
                tmp=(i+j)%p;
                ret.a[tmp]=add(ret.a[tmp],mul(x.a[i],y.a[j]));
            }
        return ret;
    }
}ori,ret,base,ans1,ans2,tmp;/*}}}*/
bool vis[M];
int P[1500000];
int get_pos(int x,int y){return (x-y+p)%p;}
void fill(int op){
    int tmp;
    ori.init(p);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        if (op==1&&!vis[i]) continue;
        ori.a[i%p]=add(ori.a[i%p],1);
    }
}
void ksm(int y){
    ret.setUnit(p); base=ori;
    for (;y;y>>=1,base=base*base)
        if (y&1) ret=ret*base;
}
void prework(int n){
    cnt=0;
    vis[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!vis[i])
            P[++cnt]=i;
        for (int j=1;j<=cnt&&P[j]*i<=n;++j){
            vis[i*P[j]]=true;
            if (i%P[j]==0)
                break;
        }
    }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    prework(m);
    fill(0);
    ksm(n);
    Ans1=ret.a[0];

    fill(1);
    ksm(n);
    Ans2=ret.a[0];
    printf("%d\n",(Ans1-Ans2+MOD)%MOD);
}