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6天通吃树结构—— 第一天 二叉查找树
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一直很想写一个关于树结构的专题，再一个就是很多初级点的码农会认为树结构无用论，其实归根到底还是不清楚树的实际用途。
一：场景：
1：现状
前几天我的一个大学同学负责的网站出现了严重的性能瓶颈，由于业务是写入和读取都是密集型，如果做缓存，时间间隔也只能在30s左
右，否则就会引起客户纠纷，所以同学也就没有做缓存，通过测试发现慢就慢在数据读取上面，总共需要10s，天啊...原来首页的加载关联
到了4张表，而且表数据中最多的在10w条以上，可以想象4张巨大表的关联，然后就是排序+范围查找等等相关的条件，让同学抓狂。
2：我个人的提供解决方案
① 读取问题
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既然不能做缓存，那没办法，我们需要自己维护一套”内存数据库“，数据如何组织就靠我们的算法功底了，比如哈希适合等于性的查找，
树结构适合”范围查找“，lucene适合字符串的查找，我们在添加和更新的时候同时维护自己的内存数据库，最终杜绝表关联，老同学，还
是先应急，把常用的表灌倒内存，如果真想项目好的话，改架构吧...
② 添加问题
或许你的Add操作还没有达到瓶颈这一步，如果真的达到了那就看情况来进行”表切分“，”数据库切分“吧，让用户的Add或者Update
操作分流，虽然做起来很复杂，但是没办法，总比用户纠纷强吧，可对...
二：二叉查找树
正式切入主题，从上面的说明我们知道了二叉树非常适合于范围查找，关于树的基本定义，这里我就默认大家都知道，我就直接从
查找树说起了。
1：定义
查找树的定义非常简单，一句话就是左孩子比父节点小，右孩子比父节点大，还有一个特性就是”中序遍历“可以让结点有序。
2：树节点
为了具有通用性，我们定义成泛型模板，在每个结点中增加一个”数据附加域”。
1 /// <summary>
2 /// 二叉树节点
3 /// </summary>
4 /// <typeparam name="K"></typeparam>
5 /// <typeparam name="V"></typeparam>
6 public class BinaryNode<K, V>
7 {
8 /// <summary>
9 /// 节点元素
10 /// </summary>
11 public K key;
12
13 /// <summary>
14 /// 节点中的附加值
15 /// </summary>
16 public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();
17
18 /// <summary>
19 /// 左节点
20 /// </summary>
21 public BinaryNode<K, V> left;
22
23 /// <summary>
24 /// 右节点
25 /// </summary>
26 public BinaryNode<K, V> right;
27
28 public BinaryNode() { }
29
30 public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right)
31 {
32 //KV键值对
33 this.key = key;
34 this.attach.Add(value);
35
36 this.left = left;
37 this.right = right;
38 }
39 }
3：添加
根据查找树的性质我们可以很简单的写出Add的代码，一个一个的比呗，最终形成的效果图如下
这里存在一个“重复节点”的问题，比如说我在最后的树中再插入一个元素为15的结点，那么此时该怎么办，一般情况下，我们最好
不要在树中再追加一个重复结点，而是在“重复节点"的附加域中进行”+1“操作。
1 #region 添加操作
2 /// <summary>
3 /// 添加操作
4 /// </summary>
5 /// <param name="key"></param>
6 /// <param name="value"></param>
7 public void Add(K key, V value)
8 {
9 node = Add(key, value, node);
10 }
11 #endregion
12
13 #region 添加操作
14 /// <summary>
15 /// 添加操作
16 /// </summary>
17 /// <param name="key"></param>
18 /// <param name="value"></param>
19 /// <param name="tree"></param>
20 /// <returns></returns>
21 public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)
22 {
23 if (tree == null)
24 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);
25
26 //左子树
27 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
28 tree.left = Add(key, value, tree.left);
29
30 //右子树
31 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
32 tree.right = Add(key, value, tree.right);
33
34 //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
35 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
36 tree.attach.Add(value);
37
38 return tree;
39 }
40 #endregion
4:范围查找
这个才是我们使用二叉树的最终目的，既然是范围查找，我们就知道了一个”min“和”max“，其实实现起来也很简单，
第一步：我们要在树中找到min元素，当然min元素可能不存在，但是我们可以找到min的上界，耗费时间为O(logn)。
第二步：从min开始我们中序遍历寻找max的下界。耗费时间为m。m也就是匹配到的个数。
最后时间复杂度为M+logN，要知道普通的查找需要O(N)的时间，比如在21亿的数据规模下，匹配的元素可能有30个，那么最后
的结果也就是秒杀和几个小时甚至几天的巨大差异，后面我会做实验说明。
1 #region 树的指定范围查找
2 /// <summary>
3 /// 树的指定范围查找
4 /// </summary>
5 /// <param name="min"></param>
6 /// <param name="max"></param>
7 /// <returns></returns>
8 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)
9 {
10 HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();
11
12 hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);
13
14 return hashSet;
15 }
16 #endregion
17
18 #region 树的指定范围查找
19 /// <summary>
20 /// 树的指定范围查找
21 /// </summary>
22 /// <param name="range1"></param>
23 /// <param name="range2"></param>
24 /// <param name="tree"></param>
25 /// <returns></returns>
26 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)
27 {
28 if (tree == null)
29 return hashSet;
30
31 //遍历左子树（寻找下界）
32 if (min.CompareTo(tree.key) < 0)
33 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);
34
35 //当前节点是否在选定范围内
36 if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)
37 {
38 //等于这种情况
39 foreach (var item in tree.attach)
40 hashSet.Add(item);
41 }
42
43 //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）
44 if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)
45 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);
46
47 return hashSet;
48 }
49 #endregion
5：删除
对于树来说，删除是最复杂的，主要考虑两种情况。
<1>单孩子的情况
这个比较简单，如果删除的节点有左孩子那就把左孩子顶上去，如果有右孩子就把右孩子顶上去，然后打完收工。
<2>左右都有孩子的情况。
首先可以这么想象，如果我们要删除一个数组的元素，那么我们在删除后会将其后面的一个元素顶到被删除的位置，如图
那么二叉树操作同样也是一样，我们根据”中序遍历“找到要删除结点的后一个结点，然后顶上去就行了，原理跟"数组”一样一样的。
同样这里也有一个注意的地方，在Add操作时，我们将重复元素的值追加到了“附加域”，那么在删除的时候，就可以先判断是
不是要“-1”操作而不是真正的删除节点，其实这里也就是“懒删除”，很有意思。
1 #region 删除当前树中的节点
2 /// <summary>
3 /// 删除当前树中的节点
4 /// </summary>
5 /// <param name="key"></param>
6 /// <returns></returns>
7 public void Remove(K key, V value)
8 {
9 node = Remove(key, value, node);
10 }
11 #endregion
12
13 #region 删除当前树中的节点
14 /// <summary>
15 /// 删除当前树中的节点
16 /// </summary>
17 /// <param name="key"></param>
18 /// <param name="tree"></param>
19 /// <returns></returns>
20 public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)
21 {
22 if (tree == null)
23 return null;
24
25 //左子树
26 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
27 tree.left = Remove(key, value, tree.left);
28
29 //右子树
30 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
31 tree.right = Remove(key, value, tree.right);
32
33 /*相等的情况*/
34 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
35 {
36 //判断里面的HashSet是否有多值
37 if (tree.attach.Count > 1)
38 {
39 //实现惰性删除
40 tree.attach.Remove(value);
41 }
42 else
43 {
44 //有两个孩子的情况
45 if (tree.left != null && tree.right != null)
46 {
47 //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点
48 tree.key = FindMin(tree.right).key;
49
50 //删除右子树的指定元素
51 tree.right = Remove(key, value, tree.right);
52 }
53 else
54 {
55 //单个孩子的情况
56 tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;
57 }
58 }
59 }
60
61 return tree;
62 }
63 #endregion
三：测试
假如现在我们有一张User表，我要查询"2012/7/30 4:30:00"到"2012/7/30 4:40:00"这个时间段登陆的用户，我在txt中生成一个
33w的userid和time的数据，看看在33w的情况下读取效率如何...
1 using System;
2 using System.Collections.Generic;
3 using System.Linq;
4 using System.Text;
5 using System.Threading;
6 using System.IO;
7 using System.Diagnostics;
8
9 namespace DataStruct
10 {
11 class Program
12 {
13 static void Main(string[] args)
14 {
15 List<long> list = new List<long>();
16
17 Dictionary<DateTime, int> dic = new Dictionary<DateTime, int>();
18
19 BinaryTree<DateTime, int> tree = new BinaryTree<DateTime, int>();
20
21 using (StreamReader sr = new StreamReader(Environment.CurrentDirectory + "//1.txt"))
22 {
23 var line = string.Empty;
24
25 while (!string.IsNullOrEmpty(line = sr.ReadLine()))
26 {
27 var userid = Convert.ToInt32(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[0]);
28
29 var time = Convert.ToDateTime(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[1]);
30
31 //防止dic出错，为了进行去重处理
32 if (!dic.ContainsKey(time))
33 {
34 dic.Add(time, userid);
35
36 tree.Add(time, userid);
37 }
38 }
39 }
40
41 var min = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:30:00");
42
43 var max = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:40:00");
44
45 var watch = Stopwatch.StartNew();
46
47 var result1 = dic.Keys.Where(i => i >= min && i <= max).Select(i => dic[i]).ToList();
48
49 watch.Stop();
50
51 Console.WriteLine("字典查找耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result1.Count);
52
53 watch = Stopwatch.StartNew();
54
55 var result2 = tree.SearchRange(min, max);
56
57 watch.Stop();
58
59 Console.WriteLine("二叉树耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result2.Count);
60 }
61 }
62
63 #region 二叉树节点
64 /// <summary>
65 /// 二叉树节点
66 /// </summary>
67 /// <typeparam name="K"></typeparam>
68 /// <typeparam name="V"></typeparam>
69 public class BinaryNode<K, V>
70 {
71 /// <summary>
72 /// 节点元素
73 /// </summary>
74 public K key;
75
76 /// <summary>
77 /// 节点中的附加值
78 /// </summary>
79 public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();
80
81 /// <summary>
82 /// 左节点
83 /// </summary>
84 public BinaryNode<K, V> left;
85
86 /// <summary>
87 /// 右节点
88 /// </summary>
89 public BinaryNode<K, V> right;
90
91 public BinaryNode() { }
92
93 public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right)
94 {
95 //KV键值对
96 this.key = key;
97 this.attach.Add(value);
98
99 this.left = left;
100 this.right = right;
101 }
102 }
103 #endregion
104
105 public class BinaryTree<K, V> where K : IComparable
106 {
107 public BinaryNode<K, V> node = null;
108
109 #region 添加操作
110 /// <summary>
111 /// 添加操作
112 /// </summary>
113 /// <param name="key"></param>
114 /// <param name="value"></param>
115 public void Add(K key, V value)
116 {
117 node = Add(key, value, node);
118 }
119 #endregion
120
121 #region 添加操作
122 /// <summary>
123 /// 添加操作
124 /// </summary>
125 /// <param name="key"></param>
126 /// <param name="value"></param>
127 /// <param name="tree"></param>
128 /// <returns></returns>
129 public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)
130 {
131 if (tree == null)
132 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);
133
134 //左子树
135 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
136 tree.left = Add(key, value, tree.left);
137
138 //右子树
139 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
140 tree.right = Add(key, value, tree.right);
141
142 //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
143 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
144 tree.attach.Add(value);
145
146 return tree;
147 }
148 #endregion
149
150 #region 是否包含指定元素
151 /// <summary>
152 /// 是否包含指定元素
153 /// </summary>
154 /// <param name="key"></param>
155 /// <returns></returns>
156 public bool Contain(K key)
157 {
158 return Contain(key, node);
159 }
160 #endregion
161
162 #region 是否包含指定元素
163 /// <summary>
164 /// 是否包含指定元素
165 /// </summary>
166 /// <param name="key"></param>
167 /// <param name="tree"></param>
168 /// <returns></returns>
169 public bool Contain(K key, BinaryNode<K, V> tree)
170 {
171 if (tree == null)
172 return false;
173 //左子树
174 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
175 return Contain(key, tree.left);
176
177 //右子树
178 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
179 return Contain(key, tree.right);
180
181 return true;
182 }
183 #endregion
184
185 #region 树的指定范围查找
186 /// <summary>
187 /// 树的指定范围查找
188 /// </summary>
189 /// <param name="min"></param>
190 /// <param name="max"></param>
191 /// <returns></returns>
192 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)
193 {
194 HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();
195
196 hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);
197
198 return hashSet;
199 }
200 #endregion
201
202 #region 树的指定范围查找
203 /// <summary>
204 /// 树的指定范围查找
205 /// </summary>
206 /// <param name="range1"></param>
207 /// <param name="range2"></param>
208 /// <param name="tree"></param>
209 /// <returns></returns>
210 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)
211 {
212 if (tree == null)
213 return hashSet;
214
215 //遍历左子树（寻找下界）
216 if (min.CompareTo(tree.key) < 0)
217 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);
218
219 //当前节点是否在选定范围内
220 if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)
221 {
222 //等于这种情况
223 foreach (var item in tree.attach)
224 hashSet.Add(item);
225 }
226
227 //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）
228 if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)
229 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);
230
231 return hashSet;
232 }
233 #endregion
234
235 #region 找到当前树的最小节点
236 /// <summary>
237 /// 找到当前树的最小节点
238 /// </summary>
239 /// <returns></returns>
240 public BinaryNode<K, V> FindMin()
241 {
242 return FindMin(node);
243 }
244 #endregion
245
246 #region 找到当前树的最小节点
247 /// <summary>
248 /// 找到当前树的最小节点
249 /// </summary>
250 /// <param name="tree"></param>
251 /// <returns></returns>
252 public BinaryNode<K, V> FindMin(BinaryNode<K, V> tree)
253 {
254 if (tree == null)
255 return null;
256
257 if (tree.left == null)
258 return tree;
259
260 return FindMin(tree.left);
261 }
262 #endregion
263
264 #region 找到当前树的最大节点
265 /// <summary>
266 /// 找到当前树的最大节点
267 /// </summary>
268 /// <returns></returns>
269 public BinaryNode<K, V> FindMax()
270 {
271 return FindMin(node);
272 }
273 #endregion
274
275 #region 找到当前树的最大节点
276 /// <summary>
277 /// 找到当前树的最大节点
278 /// </summary>
279 /// <param name="tree"></param>
280 /// <returns></returns>
281 public BinaryNode<K, V> FindMax(BinaryNode<K, V> tree)
282 {
283 if (tree == null)
284 return null;
285
286 if (tree.right == null)
287 return tree;
288
289 return FindMax(tree.right);
290 }
291 #endregion
292
293 #region 删除当前树中的节点
294 /// <summary>
295 /// 删除当前树中的节点
296 /// </summary>
297 /// <param name="key"></param>
298 /// <returns></returns>
299 public void Remove(K key, V value)
300 {
301 node = Remove(key, value, node);
302 }
303 #endregion
304
305 #region 删除当前树中的节点
306 /// <summary>
307 /// 删除当前树中的节点
308 /// </summary>
309 /// <param name="key"></param>
310 /// <param name="tree"></param>
311 /// <returns></returns>
312 public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)
313 {
314 if (tree == null)
315 return null;
316
317 //左子树
318 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
319 tree.left = Remove(key, value, tree.left);
320
321 //右子树
322 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
323 tree.right = Remove(key, value, tree.right);
324
325 /*相等的情况*/
326 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
327 {
328 //判断里面的HashSet是否有多值
329 if (tree.attach.Count > 1)
330 {
331 //实现惰性删除
332 tree.attach.Remove(value);
333 }
334 else
335 {
336 //有两个孩子的情况
337 if (tree.left != null && tree.right != null)
338 {
339 //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点
340 tree.key = FindMin(tree.right).key;
341
342 //删除右子树的指定元素
343 tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);
344 }
345 else
346 {
347 //单个孩子的情况
348 tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;
349 }
350 }
351 }
352
353 return tree;
354 }
355 #endregion
356 }
357 }
比普通的dictionary效率还仅仅是快11倍，从数量级来说还不是非常明显，为什么说不是非常明显，这是因为普通的查找树的时间复杂度
不是严格的log(N)，在最坏的情况下会出现“链表”的形式，复杂度退化到O(N)，比如下图。
不过总会有解决办法的，下一篇我们继续聊如何旋转，保持最坏复杂度在O(logN)。
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