什么时候用动态规划

动态规划应该用于最优化问题

最优化问题指的是，解决一个问题可能有多种可行的值来解决问题，但是我们需要一个最优的（最大或者最小）值

动态规划适用于子问题不是独立的情况，即各个子问题之间包含公共的子问题。动态规划对每个子问题只计算一次，保存其计算结果到"一张表",重复利用，从而优化执行。

分治法则是把一个大的问题划分成一些独立的子问题，递归求解子问题的情况；贪心算法则是会先选择当时看起来是最优的选择，然后再求解一个结果的子问题

如何使用动态规划

以斐波那契数列为例。一般的求解方式为递归，运行时间为 $\theta$ ( $2^{n/2}$ ),空间为O(1)

fib(n):
    if n<=2:f=1;
    else: f= fib(n-1)+fib(n-2);
    return f;
复制代码

可以简要分析下这个执行过程：要去求解 fib(n)，首先要知道fib(n-1)和fib(n-2),要计算fib(n-1)则需要知道fib(n-2)和fib(n-3)，要计算fib(n-2)则需要知道fib(n-3)和fib(n-4)，依此类推。
很明显可以看到：如果计算出了fib(n-1)的子问题和fib(n-2)的子问题存在依赖性，要计算fib(n-1)必然要计算fib(n-2)；同时如果复用了fib(n-2)那么当计算fib(n-1)就非常简单，直接相加即可。这也就是复用子问题处理结果。

fib(n):
    memo={}
    if n in memo:return memo[n];
    if n<=2:f=1;
    else f=fib(n-1)+fib(n-2);
    memo[n]=f;
    return f;
复制代码

分析可知：memo的存在使得实际产生调用的只有 fib(1) .... fib(n),共n次，其余的直接从memo中获取，使用常量的时间。可得运行时间为 $\theta(n)$ ,空间为O(n)。这种方式仍然可以优化到使用常量的空间，因为实际上只需要记住最初的两个值即可。

int fib(int n){
        if(n<=2){
            return 1;
        }
        int f1=1,f2=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            int f=f1+f2;
            f1=f2;
            f2=f;
        }
        return f2;
    }
复制代码

它的运行时间为 $\theta(n)$ ,空间O(1)；
这种计算方式，它实际上是相当于进行了拓扑排序，即我只有先执行完fib(n-2)，再执行fib(n-1)，然后才执行fib(n)

分析下来可以发现：

斐波那契数列求值是可以分解成多个子问题 fib(k),且一共有n个
子问题之间存在依赖关系： $F_k=F_{k-1}+F_{k-2}$ ，每个子问题的处理时间是O(1)
每个子问题的处理是按照拓扑排序的顺序进行，它的顺序为 k=1,...,n

最终去解决了原来的问题 $F_n$ ，总耗时为 子问题个数 * 每个子问题的处理时间=O(n)

拓扑排序

斐波那契数列中的拓扑排序，它本质上类似拓扑排序的DAG最短路径

要获取它的最短路径，过程如下

d_{SD}=min\left(\begin{array}{ccc}
{ d_{SA}+w_{AD} }\\\\
{ d_{SB}+w_{BD} } \\\\
\end{array} \right)=4

d_{SE}=min\left( \begin{array}{ccc}
{ d_{SA}+w_{AE} } \\\\
{ d_{SB}+w_{BE} } \\\\
{ d_{SC}+w_{CE} } \\\\
\end{array} \right) =3

d_{SF}=min\left( \begin{array}{ccc}
{ d_{SB}+w_{BF} } \\\\
{ d_{SC}+w_{CF} } \\\\
\end{array} \right) =5

d_{SG}=min\left( \begin{array}{ccc}
{ d_{SD}+w_{DG} } \\\\
{ d_{SE}+w_{EG} } \\\\
{ d_{SF}+w_{FG} } \\\\
{ d_{SC}+w_{CG} } \\\\
\end{array} \right) =5

每条边都访问了一遍，然后初始化了每个顶点的值，它的运行时间为O(V+E)

计算过程可以看到:

最短路径会被划分成多个子问题，比如 $d_{SG}$ 、 $d_{SD}$ 、 $d_{SE}$ 、 $d_{SF}$ 、 $d_{SC}$
子问题之间是存在依赖关系，比如 $d_{SG}$ 依赖于 $d_{SD}$ 、 $d_{SE}$ 、 $d_{SF}$ 、 $d_{SC}$
整个处理的过程按照 SABCDEFG的拓扑顺序进行处理

一般的图拓扑排序为

要求s到t的最短路径，那么必定会经过与t相邻的一条边，如图示的u,那么最短路径 $\delta(s,t)$ = $min_{(u,t)\in E}(\delta(s,u)+w(u,t))$

$\delta(s,u)$ 就是需要递归调用处理的部分

对于DAG： $\delta(s,t)$ 每个子问题的处理时间为 indegree(t)+O(1)

indegree(t):入度数也就是类似(u,t)边的数量，需要去遍历所有t的入边

O(1):判断是不是有入边

总共的执行时间为

当图中有环的时候求最短路径产生的问题

要求s到v的最短路径 $\delta(s,v)$ ,首选需要去求 $\delta(s,a)$ ,然后是 $\delta(s,b)$ ,到b节点有两条路径： $\delta(s,s)$ 和 $\delta(s,v)$ ，此时去memo中查 $\delta(s,v)$ 是不存在的，又会这回查询，导致了一个死循环

解决图中有环的时候求最短路径的问题

方式是去环，将原来的图一层一层的展开。
假设从s到v需要的路径为k步，那么可以得到 $\delta_k(s,v)$ = $min_{(b,v)\in E}(\delta_{k-1}(s,b)+w(b,v))$ ,当k递减到0的时候，其实也就是从s到s本身

所需要的展开层数为：|V|-1 对于求最短路径来讲，最长不能超过|V|-1，否则就是成环，会造成循环的情况（从0开始的计数），这就是为什么Bellman-Ford的外层循环是 |V|-1

每层的节点数为所有的节点。那么总共的节点数为|V'|=|V|(|V|-1)+1=O( $V^2$ ),边数是|E'|=|E|(|V|-2)+1=O(VE)。转换后的图是DAG图，那么实际上的时间为O(V'+E')=O(VE)。这也就是从动态规划的角度去看Bellman-Ford算法 节点的数目是1个源点,边的数目是每多一层实际上就多了加了一遍所有的边。

从斐波那契和最短路径的例子看出，要使用最短路径，需要确保子问题之间是互相依赖的，这样能够重复利用子问题产生的结果，而要去重复利用子问题，那首要条件是找到子问题是什么？然后在多个子问题之间选择最优的结果，并按照拓扑排序的顺序进行计算

使用动态规划的一般步骤是什么？

定义子问题：一般来讲子可以从输入条件来寻找，如果输入条件少了一项，我解决这个问题的方式会发生改变吗？如果不会，那么它基本就是子问题

计算子问题的数量

思考：明确要去尝试所有可能方式，选取最好的一个。选取中要思考

获取到的输入项是否应该被选入子问题的结果之中？
有什么途径能够使子问题扩展到原有的问题？
子问题要计算原有的问题，增加了什么变化的因素？

计算选择的数量

关联所有的子问题：根据思考得到父子问题的关联关系

计算单个子问题所需要处理的时间

重用子问题结果并记下新的结果

计算总耗时

最终解决原有的问题，它消耗的时间为：子问题的数量 * 每个子问题处理所需要时间

总的来说就是：尝试所有可能的子问题的结果，将最好的可能子结果存储下来，然后重复利用已经解决的子问题，递归去解决所有的问题(思考+记忆+递归)

一定要用动态规划吗？

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。比如

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
复制代码

乍看之下，要求连续最大和，首先得计算出子串的最大和，才能去计算原始数组的最大和，也就是说

子问题是：子数组的最大和
依赖关系：dp(i)=max(i,i+dp(i-1)),增加了一个新的元素扩展子问题，得到原问题，然后从扩展的结果和原有的结果中取获取一个最优解
dp(i-1)是可以重用的

 public int maxSubArray(int[] nums) {
       int max=Integer.MIN_VALUE;
       Map<Integer,Integer> mem=new HashMap<>();
       for(int i=0;i<nums.length;i++){
       //按照一定顺序执行
           int v=dp(i,nums,mem);
           if(v>max){
               max=v;
           }
       }
        return max;
    }
    
    public int dp(int i,int[] nums,Map<Integer,Integer> mem){
        Integer v=mem.get(i);
        if(v!=null){
        //重用子问题的结果
            return v;
        }
        int sum = nums[i];
        if(i==nums.length-1){
            mem.put(i,sum);
            return sum;
        }
        //先计算子问题
       int cSum = dp(i+1,nums,mem);
       int tempV = sum+cSum;
       //明确父子问题之间的关系，存储新的子问题结果
       if(tempV<sum){
           mem.put(i,sum);
           return sum;
       }
        mem.put(i,tempV);
       return tempV;
    }
复制代码

分析可以看到，它的执行为需要遍历一遍整个的数组，然后要去计算的子问题包括 n-1,n-2,..,1，耗时为 O(n+n-1)=O(2n)=O(n)，同时需要一个O(n)的空间存储。

  public int maxSubArray(int[] nums) {
       int max=nums[0]; 
        int currMax=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            int temp=nums[i]+currMax;
            if(temp>nums[i]){
                currMax=temp;
            }else{
                currMax=nums[i];
            }
            if(max<currMax){
                max=currMax;
            }
       }
        return max;
    }
复制代码

通过这种方式，使用的空间为O(1),时间就是O(n)。
由此可见动态规划本身只是一种解决问题的思想，并不是说动态规划得到的最优解就是解决问题的最佳方案

动态规划怎么用？

什么时候用动态规划

如何使用动态规划

拓扑排序

当图中有环的时候求最短路径产生的问题

解决图中有环的时候求最短路径的问题

使用动态规划的一般步骤是什么？

一定要用动态规划吗？

猜你喜欢