Miller Rabin-大素数判定及整数分解模板

该算法的一些理论

Miller-Rabin算法是Fermat算法的一个变形改进，它的理论基础是由Fermat定理引申而来。
　　Fermat 定理： n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。
　　Miller-Rabin 算法的理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡－1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x^2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

算法实现

Miller-Rabin(n,t)
　　输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参 数t(用于确定测试轮数)。
　　输出：返回n是否是素数(概率意义上的，一般误判概率小于(1/2)80即可) 。
　　1、将n-1表示成2sr，(其 中 r是奇数)
　　2、 对i从1到 t 循环作下面的操作：
　　2.1选择一个随机整数a(2≤a ≤n-2)
　　2.2计算y ←ar mod n
　　2.3如果y≠1并且y ≠n-1作下面的操作,否则转3：
　　2.3.1 j←1;
　　2.3.2 当j≤s-1 并且y≠n-1循环作下面操作,否则跳到 2.3.3：
　　{计算y ←y2 mod n;
　　如果 y=1返回 "合数 "；
　　否则 j←j+1; }
　　2.3.3如果y ≠n-1 则返回" 合数" ；
　　3、返回"素数"。 说明：本算法2.3.2循环中的"y=1返回"合数" "是基于如下定理：
　　定理： 设x、y和n是整数，如果x2=y2 (mod n) 但x ≠±y
　　(mod n)，则(x-y)和n的公约数中有n的非平凡因子。 在算法2.3.2循环中，如果y=1则a2(j-1)r =1(mod n)，而由此也可知a2(j-  1)r≠±1(mod n) ，由此通过上面的定理可以知道，(a2(j-1)r －1)和n有非平凡公因子，从而可判断n是合数。

该算法是一种基于概率的素数测试算法，特点是速度快，能判断<2^63的数是不是素数

虽然是基于概率，但是其实该算法还是蛮可靠的，首先是可以通过增加测试次数提高测试的正确率

代码模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<time.h>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int S = 8;//测试次数
ll mult_mod (ll a,ll b, ll c)
{
    a%=c,b%=c;
    ll ret = 0;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1)
        {
            ret += tmp;
            if (ret > c)
                ret -= c;
        }
        tmp<<=1;
        if (tmp>c)
            tmp-=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ret = 1;
    ll temp = a%mod;
    while (n)
    {
        if (n&1)
            ret = mult_mod(ret,temp,mod);
        temp = mult_mod(temp,temp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret = pow_mod(a,x,n);
    ll last = ret;
    for (int i = 1; i <= t; ++i)
    {
        ret = mult_mod(ret,ret,n);
        if (ret == 1&&last!=1&&last!=n-1)
            return 1;
        last = ret;
    }
    if (ret != 1)
        return 1;
    else
        return 0;

}

bool MR(ll n)
{
    if(n < 2)
        return 0;
    if (n == 2)
        return 1;
    if ((n&1)==0)
        return 0;
    ll x = n - 1;
    ll t = 0;

    while ((x&1)==0)
    {
        x>>=1;
        ++t;
    }
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < S; ++i) //做S次测试
    {
        ll a = rand()%(n-1) + 1;
        if (check(a,n,x,t))
            return 0;//只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
    }
    return 1;
}
int main()
{
    ll n;
    while (cin>>n)
    {
        if (MR(n))
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}

 

 

整数分解用Pollard rho算法

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
 
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    

    return ret;
}
//计算  x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
    if(n==1)return x%mod
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
 
//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow_mod(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    return false;
}
 
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
 
bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    long long x=n-1;
    long long t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}
 
 
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始
 
long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}


long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)

    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}

int main()
{
    //srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
    long long n;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        tol=0;
        findfac(n);
        for(int i=0;i<tol;i++)printf("%I64d ",factor[i]);
        printf("\n");
        if(Miller_Rabin(n))printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

模板代码参考自https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/51865496