有关时间复杂度的计算

有关时间复杂度的计算
时间复杂度：执行的次数和问题规模之间的函数关系。
1.计算规则：（1）只考虑高阶项，低阶项直接丢弃；（2）系数不要。
2.常见的时间复杂度：增长率由小到大为：
常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n), 阶乘O（n!）。
如果一个算法的复杂度为常量、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
3.举例：
（1）O(1)
   Temp=i;
   i=j;
   j=temp;
   //执行的次数和问题规模n无关

（2）O(n)
   void Fun(int n)
   {
       if(n<1)
           return 1;
       else
           return Fun(n-2)+1;
   }
   //循环了n+(n-2)+(n-4)+(n-6)+……+1 不考虑系数n/2,所以是O(n)

（3）O(log2n)
   void Fun(int n)
   {
       if(n<1)
           return 1;
       else
           return Fun(n/2)+1;
   }
   //循环了n+(n/2)+(n/4)+(n/6)+……+1 2^x=n x=log2n,所以是O(log2n)

（4）O(n2)
(a)for(i=1;i<=n;i++)   //循环了n*n次，是O(n^2)
       for(j=1;j<=n;j++)
           s++;

(b)for(i=1;i<=n;i++)   //循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)
       for(j=i;j<=n;j++)
           s++;

(c)for(i=1;i<=n;i++)   //循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)
       for(j=1;j<=i;j++)
           s++;

（5）for(i=1;i<=n;i++)
       for(j=1;j<=i;j++)
           for(k=1;k<=j;k++)
                x=x+1;
   //循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6 ≈ (n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的
4.渐近时间复杂度
时间复杂度是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数；
而渐进时间复杂度是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。
例题：设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
请判断下列关系是否成立：
（1） f(n)=O(g(n))
（2） g(n)=O(f(n))
（3） h(n)=O(n^1.5)
（4） h(n)=O(nlgn)

渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"

简单来说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。（即两个函数的增长率相等，即最高项的指数相同）

◆（1）成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。
◆（2）成立。与上同理。
◆（3）成立。与上同理。

◆（4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。

以上是比较常用的情况，以后学习完更多复杂情况，再来完善这篇博客。

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参考资料：
http://blog.csdn.net/firefly_2002/article/details/8008987
http://univasity.iteye.com/blog/1164707
http://blog.csdn.net/zhuchzhi/article/details/1529514

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