题目描述
九条可怜是一个热爱游戏的女孩子，她经常在网上和一些网友们玩一款叫做《僵尸危机》游戏。
在这款游戏中，玩家们会需要在成为僵尸之前与黑恶势力斗智斗勇，逃离被病毒感染的小岛。但是黑恶势力不会让玩家轻易得逞，他会把一些玩家抓走改造成僵尸。变成僵尸的玩家会攻击其他的玩家，被攻击的玩家会被”感染”，成为病毒的潜在宿主。
具体来说，游戏开始时，所有的玩家会获得一个L∼R的编号(如果一共有R−L+1个玩家)，不同的玩家的编号不同。
游戏分轮次进行，在每一轮中一次会发生这样的事情。
•如果所有当前所有的正常人都已经被感染，那么游戏结束。
•不然，黑恶势力会在当前的正常人(包括被感染的人)中等概率随机一个改造成僵尸。
•被改造成僵尸的玩家会攻击所有编号是他的倍数的玩家，使得他们被感染。
九条可怜现在想知道，这个游戏期望会进行多少轮？这个答案可能是一个实数，她想让你给出期望轮数乘上(R−L+1)!以后的结果，这个结果可能很大，请对109+7取模后输出。
输入
第一行输入两个整数 L, R 表示编号范围。
输出
一个整数，表示期望进行的轮数。
样例输入
2 4
样例输出
16
提示
• 2 3 4, 轮数是 2。
• 3 2 4, 轮数是 2。
• 4 2 3, 轮数是 3。
• 4 3 2, 轮数是 3。
• 2 4 3, 轮数是 3。
• 3 4 2, 轮数是 3。
每种情况的概率都是 1/6，于是期望轮数就是 (2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3)/6 =8/3。
乘上 3! = 6 以后就是 16 。
对于 20% 的数据，R − L + 1 ≤ 8。
对于另 10% 的数据，L = 1。
对于另 10% 的数据，L = 2。
对于另 30% 的数据，L ≤ 200。
对于 100% 的数据，1 ≤ L ≤ R ≤ 107 。
来源/分类
江西OI2018
做法：这里解释一下 2 4 3这个样例为什么是3，第一轮，先把2感染，让后2的倍数，4也被感染了，但是在第二轮中，4又被选中为僵尸，所以游戏进行到第三轮，把3感染后，结束游戏。理由（题目描述中的"不然，黑恶势力会在当前的正常人(包括被感染的人)中等概率随机一个改造成僵尸"）。
然后这就是纯的数学，排列组合计数的了。就像在做高中数学题一样
分两种情况讨论：
一、当l = 1的时候，n = r 比如：
n = 3时
1 2 3，1轮
1 3 2，1轮
2 1 3，2轮
3 1 2，2轮
2 3 1，3轮
3 2 1，3轮
我们发现1所在的位置就是轮数
那么答案ans = n*(n+1)/2 * (n-1)!
为什么呢，解释一下除了1之外的n-1个数的全排列就是（n-1）!
然后我们把1插入到这n-1个数的n个位置，这n个位置的期望分别是1,2,3，…… n
所以ans = n*(n+1)/2 * (n-1)!
二、当l != 1的时候 比如：
2 3 4, 轮数是 2
3 2 4, 轮数是 2
4 2 3, 轮数是 3
4 3 2, 轮数是 3
2 4 3, 轮数是 3
3 4 2, 轮数是 3
我们发现2和3在所有情况中都是必选的
接下来我们酱紫分析，我们设第i轮后，这局游戏结束，必选的数有sum个
我们就可以看看除了必选的外，有没必要选的数有几种情况。
通过分析，即C(n-sum,n-i)*(n-i)! 是没必要选的数有几种
sum是必选的有几种，
那么(i-1)!就是i前面的数有几种
所以第i次的轮数为f[i] = (i-1)! * sum * C(n-sum,n-i)*(n-i)!
我们又发现，依据游戏中最少进行的轮数是sum轮，最多是n轮
所以
AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e7+5;
int fat[maxn];
int inv[maxn];
bool vis[maxn];
//inline int read()
//{
// char x;
// while((x = getchar())>'9' || x<'0');
// int u = x-'0';
// while((x = getchar())<='9' && x>='0') u = (u<<3)+(u<<1)+x-'0';
// return u;
//}
int qpow(int a,int b)
{
int tmp = 1;
while(b)
{
if(1&b) tmp = (1LL*tmp*a)%mod;
a = (1ll*a*a)%mod;
b>>=1;
}
return tmp;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL_FILE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif // LOCAL_FILE
int l,r,n;
// l = read();
// r = read();
scanf("%d %d",&l,&r);
n = r-l+1;
fat[0] = 1;
int inv2 = qpow(2,mod-2);
for(int i=1;i<=r;i++)
fat[i] = (1ll*fat[i-1]*i)%mod;
inv[r] = qpow(fat[r],mod-2);
for(int i=r;i;i--)
inv[i-1] = (1ll*inv[i]*i)%mod;
int ans = 0;
if(l == 1)
{
ans = 1ll*fat[n]*(n+1)%mod*inv2%mod;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
int sum = 0;
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(!vis[i])
{
sum++;
for(int j=i<<1;j<=r;j+=i) vis[j] = 1;
}
}
for(int i=sum;i<=n;i++)
{
ans = (ans + 1ll*i*sum%mod*fat[n-sum]%mod*inv[i-sum]%mod*fat[i-1]%mod)%mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
PS：顺便借助这个题，了解和复习了一下输入外挂和inline关键字
还有，过多的开long long数组，会增大时间复杂度，比较long long的一些比较和运算相比int还是要费时的