一维搜索：0.618法

0.618法又叫黄金分割法，适用于单峰函数，可以不连续。

1.算法步骤

(1) 置初始区间$[a_1,b_1]$及精度要求$L>0$,计算试探点$\lambda_1$和$\mu_1$，计算函数值$f(\lambda_1)$和$f(\mu_1)$。计算公式为 $$\lambda_1=a_1+0.382(b_1-a_1),\mu_1=a_1+0.618(b_1-a_1)$$ (2) 若$b_k-a_k<L$,则停止计算。否则，当$f(\lambda_k)>f(\mu_k)$时，转步骤（3）；当$f(\lambda_k)\leq f(\mu_k)$时，转步骤(4)。 (3) 置$a_{k+1}=\lambda_k,b_{k+1}=b_k,\lambda_{k+1}=\mu_k,\mu_{k+1}=a_{k+1}+0.618(b_{k+1}-a_{k+1})$计算函数值$f(\mu_{k+1})$转步骤(5)。 (4) 置$a_{k+1}=a_k,b_{k+1}=\mu_k,\mu_{k+1}=\lambda_k,\lambda_{k+1}=a_{k+1}+0.382(b_{k+1}-a_{k+1})$计算函数值$f(\lambda_{k+1})$转步骤(5)。 (5) 置$k:=k+1$,返回步骤(2)。

2.代码示例
1.测试函数：

clc,clear
func = @(x) 2*x.^2 - x - 1; % 创建函数句柄
a1 = -1;
b1 = 1;
L = 0.01;
tic
[x state] = goldenRatio(func,a1,b1,L); %求解最小值
toc
% 画图展示
x = a1:0.01:b1;
y = 2*x.^2 - x - 1;
axis([-2 2 -10 10])
for k = 1:size(state,1)
figure(1)
plot(x,y,'b'); hold on 
plot(state(k,[1 2]),func(state(k,[1 2])),'ro'); hold off
axis([-2 2 -4 4])
pause(0.4);
end

2.算法函数：

% goldenRatio 黄金分割法
%   - 优点：不要求函数可微，且每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单
%   - 缺点：收敛速度慢
% Inputs:
%   - func  要计算的函数的函数句柄
%   - L > 0 精度
%   - a1    搜索区间下限
%   - b1    搜索区间上限
% Outputs:
%   - res     返回func(x)的最小值
%   - state   返回每次迭代的[a_k b_k lambda_k mu_k f1 f2] 

function [res,state] = goldenRatio(func,a1,b1,L)
%初始化
a_k = a1; 
b_k = b1;
lambda_k = a1 + 0.382*(b1 - a1);
mu_k = a1 + 0.618*(b1 - a1);
f1 = func(lambda_k);
f2 = func(mu_k);

count = 1;
while(true)
    %实际使用时可以去掉state和count，因为会影响运行速度
    state(count,:) = [a_k b_k lambda_k mu_k f1 f2]; 
    count = count + 1;

    if(b_k - a_k < L) break;end
    if(f1 > f2)
        a_k = lambda_k;
        %b_k = b_k; 
        lambda_k = mu_k;
        mu_k = a_k + 0.618*(b_k - a_k);
        f1 = f2;
        f2 = func(mu_k);
    else
        %a_k = a_k;
        b_k = mu_k;
        mu_k = lambda_k;
        lambda_k = a_k + 0.382*(b_k - a_k);
        f2 = f1;
        f1 = func(lambda_k);
    end
end
res = 0.5*(a_k + b_k);
end

3.搜索过程动图：

参考书目：《最优化理论与算法》陈宝林