【阅读笔记】0x04 二分

（一）二分

答案必须具有单调性！！

一。整数集合上的二分

有两种不同的写法：当check(mid)成立时，若答案在右区间，采用第一种写法；反之，若答案在左区间，采用第二种写法。采用配套写法，可以防止死循或漏解。

①

1 while(l<r){
2     int mid=(l+r+1)>>1;
3     if(check(mid)) l=mid;
4     else r=mid-1;
5 }
6 return l;

②

while(l<r){
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid)) r=mid;
    else l=mid+1;
}
return l;

注意：若存在负整数的情况，需采用mid=(xxx)>>1而非mid=(xxx)/2，因为/是下取整，而>>是向0取整。

二。实数集合上的二分

确定好精度，一般需要保留k位小数时，取eps=10^-(k+2)。

while(l+eps<r){
    double mid=(l+r)/2;//实数没有移位运算 
    if(check(mid)) l=mid;
    else r=mid;//l r视情况而定 
}

有时精度不容易表示或确定，直接固定循环次数也可以，这样得到的精度通常比设置的eps要高。

for(int i=1;i<=100;i++){
    double mid=(l+r)/2;//实数没有移位运算 
    if(check(mid)) l=mid;
    else r=mid;//l r视情况而定 
}

（二）三分法

用来求单峰函数（拥有唯一极大值点，该点左侧严格单调递增，右侧严格单调递减）或单谷函数的极值。

以单峰函数为例：

在[l,r]上取两点lmid,rmid。

若f(lmid)<f(rmid) 说明极大值一定在lmid的右侧，so令l=lmid。

若f(lmid)>f(rmid) 说明极大值一定在rmid的左侧，so令r=rmid。

若f(lmid)=f(rmid) 当函数严格单调时，令l=lmid 或 r=rmid 均可，但若函数存在一段值相等的部分，就无法判断左右边界如何缩小，三分法就不再适用。

一。整数集合上的三分

单峰函数

单谷函数

二。实数集合上的三分

单峰函数

for(int i=0;i<100;i++){
        double lmid=(l*2+r)/3,rmid=(r*2+l)/3;
        double resl=cal(lmid),resr=cal(rmid);
        if(resl>resr) r=rmid;
        else l=lmid;
    }
return l;

单谷函数

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