HDU 6311 Cover 欧拉路径

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题意

在一个 $n$ 个节点 $m$ 条边的图中，用最少的一笔画把图上所有的边都覆盖一次，问最少要画多少划，并输出方案。

输入

多组输入（不超过 $20$ 组），每组输入第一行为两个整数 $n,m~(1\leq n,m\leq10^5)$，接下去 $m$ 行每行两个整数 $u,v~(1\leq u,v\leq n)$，表示在节点 $u$ 和 $v$ 之间有一条路径，数据保证没有重边与自环。

输出

对于每组输入，第一行输出一个整数 $p$，表示最少的笔画数，接下去 $p$ 行，每行表示一条路径，每行的第一个数字 $x$ 表示这条路径经过的边的数量，后面跟着 $x$ 个整数，每个整数表示经过编号为 $abs(x)$ 的边，如果经过第 $i$ 条路径时是从 $u_i$ 到达 $v_i$（路径方向与输入相同），则输出 $i$，否则（路径方向与输入相反）输出 $-i$，路径需要按照笔画顺序输出。如果有多组输出任意一组。

样例

输入
3 3 1 2 1 3 2 3
输出
1 3 1 3 -2

题解

对每个连通块分开处理，如果某个连通块内只有一个点，则不需要笔画，否则统计这个连通块内度为奇数的点的数量 $cnt$，则需要的最少笔画数量为 $\max(\frac{cnt}{2},1)$（欧拉路径性质），求和就是整张图的最少笔画数。然后对于每个连通块内度为奇数的点（点的个数一定为偶数），两两加边，这样就能使得所有点的度都为偶数，在新图上跑出欧拉路径，再将这个路径上之前加上去的边从环上删掉，就可以得到 $\max(\frac{cnt}{2},1)$ 条路径。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;

#define LL long long
const int maxn = 100000 + 100;
struct Node {
    int pos, Index;
    Node() {}
    Node(int p, int I) {
        pos = p;
        Index = I;
    }
};

struct Edge {
    int u, v;
};

int n, m, u, v, cnt, mm, cnttmp, cas;
int fa[maxn], num[maxn], deg[maxn], ans[maxn << 2], anstmp[maxn];
vector<Node> G[maxn];
vector<int> GG[maxn];
Edge edge[maxn << 2];
int vis[maxn << 2];

bool cmp(const int &a, const int &b) {
    return deg[a] > deg[b];
}

void Init() {
    cnt = 0;
    mm = m + 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        fa[i] = i;
        num[i] = 0;
        deg[i] = 0;
        G[i].clear();
        GG[i].clear();
    }
}

int Find(int x) {
    return (x == fa[x]? x: fa[x] = Find(fa[x]));
}

void unit(int x, int y) {
    int xx = Find(x);
    int yy = Find(y);
    if(deg[xx] % 2 == 1) {
        swap(xx, yy);
    }
    if(xx != yy) {
        fa[xx] = yy;
        num[yy] += num[xx];
    }
}

void dfs(int x) {
    int len = G[x].size();
    for(int i = 0; i < len; ++i) {
        int pos = G[x][i].pos;
        int Index = G[x][i].Index;
        if(vis[abs(Index)] != cas) {
            vis[abs(Index)] = cas;
            dfs(pos);
            ans[cnt++] = Index;
        }
    }
}

int Next(int x, int mod) {
    return ((x - 1) % mod + mod) % mod;
}

void solve(int pos) {
    cnt = 0;
    sort(GG[pos].begin(), GG[pos].end(), cmp);
    int len = GG[pos].size();
    for(int i = 0; i < len; i += 2) {
        if(deg[GG[pos][i]] == 1) {
            u = GG[pos][i];
            v = GG[pos][i + 1];
            G[u].push_back(Node(v, mm));
            G[v].push_back(Node(u, -mm));
            ++mm;
        } else {
            break;
        }
    }
    dfs(pos);
    int End = -1;
    for(int i = 0; i < cnt; ++i) {
        if(abs(ans[i]) > m) {
            End = i;
            break;
        }
    }
    if(End == -1) {
        printf("%d", cnt);
        for(int i = cnt - 1; i >= 0; --i) {
            printf(" %d", ans[i]);
        }
        printf("\n");
        return ;
    }
    for(int i = Next(End, cnt); i != End; ) {
        cnttmp = 0;
        bool flag = false;
        for(int j = i; j != End; j = Next(j, cnt)) {
            if(abs(ans[j]) > m) {
                i = Next(j, cnt);
                flag = true;
                break;
            }
            anstmp[cnttmp++] = ans[j];
        }
        if(!flag) {
            i = End;
        }
        if(cnttmp == 0) {
            continue;
        }
        printf("%d", cnttmp);
        for(int j = 0; j < cnttmp; ++j) {
            printf(" %d", anstmp[j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);

    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        ++cas;
        Init();
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(Node(v, i));
            G[v].push_back(Node(u, -i));
            ++deg[u];
            ++deg[v];
            edge[i].u = u;
            edge[i].v = v;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            deg[i] %= 2;
            if(deg[i] == 1) {
                ++num[i];
            }
        }
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            unit(edge[i].u, edge[i].v);
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            GG[Find(i)].push_back(i);
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if((int)GG[i].size() <= 1) {
                continue;
            }
            cnt += max(num[i] / 2, 1);
        }
        printf("%d\n", cnt);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if((int)GG[i].size() <= 1) {
                continue;
            }
            solve(i);
        }
    }

    return 0;
}