[BZOJ5296][CQOI2018]破解D-H协议(BSGS模板题)

5296: [Cqoi2018]破解D-H协议

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Description

    Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥（密码）的情况下通过不安全的信道（可能被窃听）建立一个安全的密钥K，用于加密之后的通讯内容。
    假定通讯双方名为Alice和Bob，协议的工作过程描述如下（其中mod表示取模运算）：
    1．协议规定一个固定的质数P，以及模P的一个原根g。P和g的数值都是公开的，无需保密。
    2．Alice生成一个随机数a，并计算A=g^a mod P，将A通过不安全信道发送给Bob。
    3．Bob生成一个随机数b，并计算B=g^b mod P，将B通过不安全信道发送给Alice。
    4．Bob根据收到的A计算出K=A^b mod P，而Alice根据收到的B计算出K=B^a mod P。
    5．双方得到了相同的K，即g^(a*b) mod P。K可以用于之后通讯的加密密钥。
    可见，这个过程中可能被窃听的只有A、B，而a、b、K是保密的。并且根据A、B、P、g这4个数，不能轻易计算出K，因此K可以作为一个安全的密钥。
    当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常a、b、P都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如果Alice和Bob编程时偷懒，为了避免实现大数运算，选择的数值都小于2^31，那么破解他们的密钥就比较容易了。

Input

    输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g和P。
    第二行为一个正整数n，表示Alice和Bob共进行了n次连接（即运行了n次协议）。
    接下来n行，每行包含两个空格分开的正整数A和B，表示某次连接中，被窃听的A、B数值。
    $2≤A，B<P<2^{31}，2≤g<20， n<=20$

Output

    输出包含n行，每行1个正整数K，为每次连接你破解得到的密钥。

Sample Input

3 31
3
27 16
21 3
9 26

Sample Output

4
21
25

思路&&分析

    这题就是裸的BSGS模板题，对于$A≡g^a$(mod p)，我们可以用BSGS来求出a，从而直接求$B^a$就行了。接下来来讲讲BSGS是怎么使用的。

BSGS定义

    BSGS，就是平常所说的大步小步算法，这个算法可以较高效地求出形如同余方程$A^x≡B$(mod C)(C是质数)的解。

如何实现

    我们可以使用分块来优化暴力枚举，对于$A^x≡B$(mod C)，我们可以令$m=\lceil \sqrt C\rceil$，$x=i*m+j$，那么该式子就可以写成$A^{i*m}*A^j≡B$(mod C)，于是我们可以将$A^j$进行预处理，表示达到这个值的指数项为多少，存到一个哈希表或者map里，之后我们只要枚举$A^{i*m}$就行了，大致复杂度是$O(\sqrt n log n)$。(知道了这个，这题就做完了qwq)

Code

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('\n');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
map<ll,int>num;
ll g,a,b,p,A,B;
int T,n;
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y) {
    if(!b)
        d=a,x=1,y=0;
    else
        exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
inline ll inv(ll x) {
    ll d,xx,y;
    exgcd(x,p,d,xx,y);
    return d==1?(xx+p)%p:-1;
}
inline ll pw(ll a,ll b) {
    ll res=1;
    while(b) {
        if(b&1)
            res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline ll solve(ll x) {
    for(int i=0;i<=n;i++) {
        ll v=x*inv(pw(g,i*n))%p;
        if(num.count(v))
            return num[v]+i*n;
    }
    return -1;
}
int main() {
    read(g),read(p),read(T);
    n=ceil(sqrt(p));
    ll x=1;
    num[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        x=x*g%p;
        if(!num[x])
            num[x]=i;
    }
    while(T--) {
        read(A),read(B);
        printf("%lld\n",pw(A,solve(B)));
    }
}