D. Points and Powers of Two ——codeforces

D. Points and Powers of Two

standard output

There are $\mathrm{nn distinct\; points\; on\; a\; coordinate\; line,\; the\; coordinate\; of ii-th\; point\; equals\; to xixi.\; Choose\; a\; subset\; of\; the\; given\; set\; of\; points\; such\; that\; the\; distance\; between\; each\; pair\; of\; points\; in\; a\; subset\; is\; an\; integral\; power\; of\; two.\; It\; is\; necessary\; to\; consider\; each\; pair\; of\; points,\; not\; only\; adjacent.\; Note\; that\; any\; subset\; containing\; one\; element\; satisfies\; the\; condition\; above.\; Among\; all\; these\; subsets,\; choose\; a\; subset\; with\; maximum\; possible\; size.}$

In other words, you have to choose the maximum possible number of points ${\mathrm{xi1,xi2,\dots ,ximxi1,xi2,\dots ,xim such\; that\; for\; each\; pair xijxij, xikxik it\; is\; true\; that |xij-xik|=2d|xij-xik|=2d where dd is\; some\; non-negative\; integer\; number\; (not\; necessarily\; the\; same\; for\; each\; pair\; of\; points).}}^{}$

Input

The first line contains one integer $\mathrm{nn (1\le n\le 2\cdot 1051\le n\le 2\cdot 105)\; —\; the\; number\; of\; points.}$

The second line contains $\mathrm{nn pairwise\; distinct\; integers x1,x2,\dots ,xnx1,x2,\dots ,xn (-109\le xi\le 109-109\le xi\le 109)\; —\; the\; coordinates\; of\; points.}$

Output

In the first line print $\mathrm{mm —\; the\; maximum\; possible\; number\; of\; points\; in\; a\; subset\; that\; satisfies\; the\; conditions\; described\; above.}$

In the second line print $\mathrm{mm integers\; —\; the\; coordinates\; of\; points\; in\; the\; subset\; you\; have\; chosen.}$

If there are multiple answers, print any of them.

Examples

input

Copy

6
3 5 4 7 10 12

output

Copy

3
7 3 5

input

Copy

5
-1 2 5 8 11

output

Copy

1
8

Note

In the first example the answer is $[7,3,5][7,3,5].\; Note,\; that |7-3|=4=22|7-3|=4=22, |7-5|=2=21|7-5|=2=21 and |3-5|=2=21|3-5|=2=21.\; You\; can\text{'}t\; find\; a\; subset\; having\; more\; points\; satisfying\; the\; required\; property.$

题意：选取最大子集集合，满足两两相减为2^n，

题解：集合元素最多为3个。

证明如下：

证明一：集合{a，b，c}，存在任意一对相减为2^n (2的幂)。

证：设|a-b|=2^x , |b-c|=2^y , |a-c|=2^x+2^y=2^t 。

由条件可知，要使2^x+2^y=2^t 成立，必有x=y。

反证法：假设x!=y (x<y)。(x>y也类似)

那么有x+u=y。->u=y-x

故2^x+2^y=2^x+2^x*2^u=2^x(1+2^u)。

显然1+2^u不为2^n (2的幂）。

故2^x+2^y!=2^t。

结论有悖，故x=y，证明一成立。

证明二：集合{a，b，c，d……}，(大于4个) 存在任意一对相减为2的幂当且仅当差为2^n。

拿4个来举例子好吧。

易知：|a-b|=2^x , |b-c|=2^y , |c-d|=2^u。

           |a-c|=2^x+2^y=2^t1 ,   …………(1)

            |b-d|=2^y+2^u=2^t2 , ………… (2)

            |a-d|=2^x+2^y+2^u=2^t3。

由证明一和(1) (2) 可得，x=y=u,

故|a-d|=2^x+2^y+2^u= 3*2^x != 2^t3 。

故证明二不成立，不存在集合{a，b，c，d……}，(大于4个) 存在任意一对相减为2^n (2的幂)。

5个元素以上也是不成立的，为什么呢？你想啊，5个以上，那必然有要满足4个元素的条件。a，b，c，d，e，必然会出现|a-d|，所以，你懂的。

参考网上代码如下：

https://www.cnblogs.com/xingkongyihao/p/9124635.html

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
int a[N], n;
map<int,int> mp;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);

        mp[a[i]] = 1;
    }
    sort(a,a+n);

    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0; j < 32; j ++)
        {
            int x = 1 << j;
            if(mp[a[i]+x] && mp[a[i]+2*x])
            {
                return 0*printf("3\n%d %d %d\n",a[i],a[i]+x,a[i]+x*2);
            }
            if(a[i]+x > a[n-1] || a[i]+2*x > a[n-1]) break;
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0; j < 32; j ++)
        {
            int x = 1 << j;
            if(mp[a[i]+x])
            {
                return 0*printf("2\n%d %d\n",a[i],a[i]+x);
            }
            if(mp[a[i]+x*2])
            {
                return 0*printf("2\n%d %d\n",a[i],a[i]+2*x);
            }
            if(a[i]+x > a[n-1] || a[i]+2*x > a[n-1]) break;
        }
    }

    printf("1\n%d\n",a[0]);
    return 0;
}

我的标签：做个有情怀的程序员。