题目描述：

一个有N个元素的数组，这N个元素可以是正数也可以是负数，数组中连续的一个或多个元素可以组成一个连续的子数组，一个数组可能有多个这种连续的子数组，求子数组和的最大值

实现思路：

1.蛮力法：

找到所有的子数组，然后求出子数组的和，取所有子数组和中的最大值。时间复杂度为O(n^3)。分析发现，许多子数组都重复计算了。

代码：

/**方法一：
	 * 进行了3次循环，第三次的循环主要是将i到j-1之间的数加起来sum，然后与max比较
	 * O(n^3),很多子数组都重复计算了
	 */
	private int maxSubArray1(int[] a) {
		int sum=0,maxsum=0;
		for(int i=0; i<a.length; i++){
			for(int j=i; j<a.length; j++){
				sum=0;
				for(int k=i; k<j; k++){
					sum += a[k];
				}//
				if(sum > maxsum){
					maxsum = sum;
				}//
			}//
		}//
		return maxsum;
	}

2.重复利用已经计算的子数组和：

sum[i,j] = sum[i, j-1] + a[j], 时间复杂度为O(n^2)

/**
	 * 方法二：
	 * 重复利用已经计算的子数组和，O(n*2)
	 */
	private int maxSubArray2(int[] a) {
		int max=Integer.MIN_VALUE;
		for(int i=0; i<a.length; i++){
			int sum = 0;
			for(int j=i; j<a.length; j++){
				sum += a[j];
				if(sum > max){
					max = sum;
				}
			}//
		}//
		return max;
	}

3.动态规划方法：

时间复杂度为O(n).根据数组的最后一个元素a[n-1] 与最大子数组的关系分为以下三种情况：

1) 最大子数组包含a[n-1] ,即就是以a[n-1]结尾

2)最大子数组不包含a[n-1], 那么求a的最大子数组可以转换为求 a[1, ... , n-2] 的最大子数组

3)a[n-1] 单独构成最大子数组

结论：假设已经计算出a[0, ... , a[i-1] 最大的一段子数组和为All[i-1], 同时也计算出a[0,i-1] 中包含a[i-1]的最大的一段数组和为end[i-1] ,则可以得出： All[i-1] = max{ a[i-1] , end[i-1], All[i-2] }

代码：

/**
	 * 方法三：
	 * 动态规划方法：
	 * 0--i-1最大的一段数组和	   0--i-1包含i-1的最大    	0--i-2中最大的数组和			
	 * all[i-1]     = max{ end[i-1], 		a[i-1], 	all[i-2]}
	 */
	private int maxSubArray3(int[] a) {
//		初始化all,end
		int all[] = new int[a.length];
		int end[] = new int[a.length];
		all[0] = end[0] = a[0];
		end[a.length-1] = all[a.length-1] = a[a.length-1];
		for(int i=1; i<a.length; i++){
//			0---i-1中最大数组和的值要么是end[i-1],要么是第i个数
			end[i] = max(end[i-1]+a[i], a[i]);
//			0---i中最大数组和的值要不是all[i-1], 要不是包含i的end[i]
			all[i] = max(all[i-1], end[i]);
		}
		return all[a.length-1];
	}

	private int max(int i, int j) {
		return i > j ? i : j;
	}

4.优化的动态规划方法：

找到最大子数组和，并且确定最大子数组的位置。end[i] = max{ end[i-1]+a[i] , a[i] }, 当end[i-1] <0 时，end[i] = a[i], end[i]表示包含a[i]的子数组和，如果某一个值使得end[i-1] < 0, 那么就从a[i] 重新开始

代码：

static int begin=0, end=0;
/**
	 * 方法四：
	 * 确定最大子数组的位置
	 * end[i] = max{ end[i-1]+a[i], a[i]}
	 * 如果end[i-1] < 0, end[i] = a[i],那么从这个i开始
	 */
	
	private int maxSubArray4(int[] a) {
		int start = 0, sum=0,max = Integer.MIN_VALUE;
		
		for(int i=0; i<a.length; i++){
			if(sum < 0){
				sum = a[i];
				start = i;
			}else{
				sum += a[i];
			}
			if(sum > max){
				max = sum;
				begin = start;
				end = i;
			}
		}//
		
		return max;
	}

测试代码：

@Test
	public void test1(){
		int[] a = {1,-2,4,8,-4,7,-1,-5};
		System.out.println("方法一："+maxSubArray1(a));
		System.out.println("方法二："+maxSubArray2(a));
		System.out.println("方法三："+maxSubArray3(a));
		System.out.println("方法四："+maxSubArray4(a)+"begin:"+begin+"end:"+end);
	}

数组：求最大子数组之和