【组合计数】【DP】AGC001 BBQ Hard

分析：

首先，很容易得到一个简单的表达式：

$$\sum_{i,j(i≠j)}C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+A_j}$$
然而会T。。。。

观察一下这个式子有什么几何意义：
$C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+A_j}$可以表示从点$(-A_i,-B_i)$走到$(A_j,B_j)$的最短路径数！！！

所以这道题就可以DP来做了；

定义$dp[i][j]$表示从左下方走到$(i,j)$的最短路径数。

然后记$ask[i][j]$表示$A_x=i,B_x=j$的方案数。

答案就是$\sum_{0\leq i,j\leq 2000}ask_{i,j}*dp_{i,j}$

但是这时会将从自己$(-A_i,-B_i)$走到自己$(A_i,B_i)$的方案计算了，但这明显是不合法的

所以要减去这部分。即$\sum_{1\leq i\leq n}C_{2*A_i+2*B_i}^{2*A_i}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
#define MAXM 4010
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int dp[MAXM][MAXM],ask[MAXM][MAXM];
ll fac[MAXM*2],inv[MAXM*2],del,ans;
ll fsp(ll x,int y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)
            res=res*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;  
    }
    return res;
}
int n,u,v;
ll C(int n,int m){
    return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;  
}
int main(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=8000;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[8000]=fsp(fac[8000],MOD-2);
    for(int i=8000;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%MOD;
    SF("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        SF("%d%d",&u,&v);
        del+=C(2*u+2*v,2*u);
        del%=MOD;
        dp[2000-u][2000-v]++;
        ask[2000+u][2000+v]++;
    }
    for(int i=0;i<=4000;i++)
        for(int j=0;j<=4000;j++){
            if(i!=0)
                dp[i][j]+=dp[i-1][j];
            if(j!=0)
                dp[i][j]+=dp[i][j-1];
            dp[i][j]%=MOD;
            ans=(ans+1ll*ask[i][j]*dp[i][j])%MOD;
        }
    ans=(ans-del+MOD)%MOD;
    PF("%lld",ans*fsp(2,MOD-2)%MOD);
}