BZOJ P1925 [SDOI2010] 地精部落【容易懂的题解】【动态规划】

嗯没错…这道题我是没有做起的…硬生生刚了两小时还停留在找规律的阶段…

在网上看了题解发现很多都写得并不那么清楚，反正我没有完全弄懂（可能是因为我比较垃圾）。于是我在观摩了网上大神的题解后再加上自己的一点题后思考，写下这一篇自认为大众都能看懂的题解（会打脸的吧）。

这道题毕竟还是一道省选题，本身没有代码的实现难度也不存在很多难的知识，所以只是对选手的思维难度要求非常高，比如状态的设立：

$f[i][j]$表示在$i$的全排列中，首项为山峰并且取值在$[1,j]$的方案数。

没错这个状态出来就十分神奇了，毕竟我是第一次见到这种状态的设立。

考虑$f[i][j]$是如何转移来的。由于根据状态的设立，此状态首项的取值区间为$[1,j]$，即$[1,j-1]+[j,j]$，而此时$f[i][j-1]$我们是已经算出来的了，那么接下来我们就只需要再考虑在$i$的全排列中，首项为山峰并且值为$j$的情况。

由于此时我们已经确定了首先的值，那么接下来我们就只需要再确定第$2$到第$i$项一共$i-1$项的值，不难发现，这$i-1$项的取值仍然是$i-1$的全排列，再由于我们整个序列不是向上（$a[i-1]<a[i]>a[i+1]$）就是向下（$a[i-1]>a[i]<a[i+1]$），我们仍然容易得到：相邻的两个位置不可能同时向上或者向下，也就是说如果此时$i$号位置是向上的，那么$i+1$号位置一定向下。

根据这样的结论，我们就可以确定第$2$号位置一定是向下的，那么在剩下来的$[1,i-1]$个数当中，哪些数全出来一定可以满足$2$号位置是向下的呢？这个就
比较显然了，如果要满足这个要求的话，那么$2$位置的数应在$[1,j-1]$当中选，用我们设立的状态来表示就是$f[i-1][(i-1)-(j-1)]=f[i-1][i-j]$了。

所以我们现在得到了状态转移方程：

$$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]$$

但是到这里其实还没有完，注意我们在设立状态的时候提前说明了首项为山峰，那么首项为山谷的情况怎么办呢？其实同样考虑得到同样的方程，所以我们只需要把最后的结果翻倍就好了。

另，滚动数组优化第一维。

也许分析到这里，我们会突然觉得这道题不是很难，但是仔细回味一下这道题的过程，还是可以给我们很多的启示。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int Max=5e3+5;
int N,M,Cur,DP[2][Max];
int main(){
    int I,J,K;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    if(N==1){
        puts("1");return 0;
    }DP[0][1]=1;
    for(I=2;I<=N;I++){
        Cur^=1;
        for(J=1;J<=I;J++){
            DP[Cur][J]=(DP[Cur][J-1]+DP[Cur^1][I-J])%M;
        }
    }
    printf("%d",DP[Cur][N]*2%M);
    return 0;
}