数据结构与算法学习笔记——二叉树的初步理解

二叉树的概念

---

二叉树是一棵每个节点都不能有多于两个儿子的树
有N个结点的完全二叉树的深度：

公式：K =「log2n」+1
证明：可用数学归纳法。
当n=1=2^1-1时显然。
假设当n<=2^k-1时具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1，则
当n=2^k（以及2^k+1,…,2^(k+1)-1）时，由归纳假设知前2^k-1个结点构成深度为「log2n」+1的树，再由完全二叉树的定义知剩余的1（或2,…,2^k)个结点均填在第「log2n」+2层上（作为“叶子”），故深度刚好增加了1。
故n<=2^(k+1)-1时命题成立。证毕。
（首先最好能先从直观上理解：完全二叉树中：
第1层有1个结点；
第2层有2个结点；
第3层有4个结点；
……
第k层有2^(k-1)个结点；（前k层共有(2^k)-1个结点，故前面深度刚好是「log2（2^k-1)」+1=k-1+1=k）
第k+1层是剩余的结点。

二叉树的平均深度为 $O(\sqrt(n)$)，二叉查找数的深度平均值是$O(\log N)$

二叉树的实现

因为一个二叉树结点最多有两个儿子，所以可以直接链接到它们。树节点的声明在结构上类似于双向链表的声明。在声明中，一个结点就是由element的信息加上两个到其他结点的引用（$left$ 和 $right$）组成的结构。

struct BinaryNode
{
  Object  element;    //data in the node
  BinaryNode *left;   //Left child
  BinaryNode *right;  //Right child
}

二叉树的创建

#include<iostream>
using namespace std;
typedef struct node
    {
        struct node *leftChild;
        struct node *rightChild;
        char data;
    }BiTreeNode ,*BiTree;
//————————建立二叉树——————————
void createBitree(BiTree &T)
    {
        char c;
        cin>>c;
        if('#'==c)
            T==NULL;
        else
        {
            T=new BiTreeNode;
            T->data=c;
            createBitree(T->leftChild);
            createBitree(T->rightChild);
        }
    }
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    BiTree T;
    int numNode;
    createBitree(T);
    cout<<"二叉树建立完成"<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

二叉树常见问题

题目参照：http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/7518888
1）遍历：前序，中序，后序
2）结点个数：
递归解法：
（1）如果二叉树为空，节点个数为0
（2）如果二叉树不为空，二叉树节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1
3） 求二叉树的深度
递归解法：
（1）如果二叉树为空，二叉树的深度为0
（2）如果二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度， 右子树深度) + 1
4）分层遍历二叉树（按层次从上往下，从左往右）
相当于广度优先搜索，使用队列实现。队列初始化，将根节点压入队列。当队列不为空，进行如下操作：弹出一个节点，访问，若左子节点或右子节点不为空，将其压入队列。

常见问题的程序实现

// three_order_map.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include"stdafx.h"
#include<iostream> 
#include<queue>

#define N 7  
using namespace std;  

typedef struct node  
{  
    struct node *leftChild;  
    struct node *rightChild;  
    int data;  
}BiTreeNode, *BiTree;  

BiTreeNode *createNode(int i)  
{  
    BiTreeNode * q = new BiTreeNode;  
    q->leftChild = NULL;  
    q->rightChild = NULL;  
    q->data = i;  //1,2,3,4,5,6也可以自己输入

    return q;  
}  

BiTree createBiTree()  
{  
    BiTreeNode *p[N] = {NULL};  
    int i;  
    for(i = 0; i < N; i++)  
        {
            p[i] = createNode(i + 1);
            cout<<p[i]->data<<endl;
        }

    for(i = 0; i < N/2; i++)  
    {  
        p[i]->leftChild = p[i * 2 + 1];  
        p[i]->rightChild = p[i * 2 + 2];  
    }  

    return p[0];  
}  

int visit(BiTree T)  
{  
    return T->data;  
}  

// 先序遍历  
void preOrderTraverse(BiTree T)  
{  
    if(T)  
    {  
        cout << visit(T) << " ";  
        preOrderTraverse(T->leftChild);  
        preOrderTraverse(T->rightChild);  
    }  
}  

// 中序遍历  
void inOrderTraverse(BiTree T)  
{  
    if(T)  
    {  
        inOrderTraverse(T->leftChild);  
        cout << visit(T) << " ";  
        inOrderTraverse(T->rightChild);  
    }  
}  

// 后序遍历  
void postOrderTraverse(BiTree T)  
{  
    if(T)  
    {  
        postOrderTraverse(T->leftChild);  
        postOrderTraverse(T->rightChild);  
        cout << visit(T) << " ";  
    }  
}  

//求二叉树中的结点个数
int GetNodeNum(BiTreeNode * pRoot)  
{  
    if(pRoot == NULL) // 递归出口  
        return 0;  
    return GetNodeNum(pRoot->leftChild) + GetNodeNum(pRoot->rightChild) + 1;  
}  

//求二叉树的深度
int GetDepth(BiTreeNode * pRoot)  
{  
    if(pRoot == NULL) // 递归出口  
        return 0;  
    int depthLeft = GetDepth(pRoot->leftChild);  
    int depthRight = GetDepth(pRoot->rightChild);  
    return depthLeft > depthRight ? (depthLeft + 1) : (depthRight + 1);   
}  
//分层遍历二叉树
void LevelTraverse(BiTreeNode * pRoot)  
{  
    if(pRoot == NULL)  
        return;  
    queue<BiTreeNode *> q;  
    q.push(pRoot);  
    while(!q.empty())  
    {  
        BiTreeNode * pNode = q.front();  
        q.pop();  
        cout<<visit(pNode); // 访问节点  
        if(pNode->leftChild != NULL)  
            q.push(pNode->leftChild);  
        if(pNode->rightChild != NULL)  
            q.push(pNode->rightChild);  
    }  
    return;  
}  
int main()  
{  
    int num;
    BiTree T = createBiTree();  //根节点

    cout << "先序遍历:" << endl;  
    preOrderTraverse(T);  
    cout << endl << endl;  

    cout << "中序遍历:" << endl;  
    inOrderTraverse(T);  
    cout << endl << endl;  

    cout << "后序遍历:" << endl;  
    postOrderTraverse(T);  
    cout << endl << endl;  

    num=GetNodeNum(T);
    cout<<"结点个数为 "<<num<<endl;

    num=GetDepth(T);
    cout<<"树的深度为 "<<num<<endl;

    cout<<"层次遍历的结果为:";
    LevelTraverse(T);
    cout<<endl;

    system("pause");
    return 0;  
}  

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