数学解题报告
题目：
已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90︒,CD=BC,DE⊥CE,DE=CE,连接AE，点M是AE的中点。
- 如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
- 如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE。求证：MN⊥AE。
图1 图2
解析：
- 题目中含有直角三角形求长度，应想到勾股定理。
- 证明垂直，要证直角（这里不能用三线合一，因为不是等腰）。条件中有两个中点，可以构造全等三角形、中位线；
答案：
（1）
连接AD，
∵AB=AC=4，∠BAC=90︒
∴∠B=∠ACD=45︒,BC==
∴DC=BC=
∵DE=EC,
∴DE=EC=2,∠DCE=∠EDC=45︒
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90︒
∴AE==
∵AM=ME
∴CM=AE=
(2)
延长EN至F使NF=NE，连接AF，BF，
在△DNE和△BNF中
∴△DNE≌△BNF(SAS)
∴CF=DE=EC,∠FBN=∠END
∵∠ACB=∠DCE=45︒
∴∠ACE=90︒-∠DCB
∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
=∠NDE-∠ABN
=180︒-∠DBC-∠DGB-∠ABN
=180︒-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
=90︒-∠DCB
=∠ACE
在△ABF和△ACE中
∴△ABF≌△ACE(SAS)
∴∠FBA=∠EAC
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90︒
∵N为EF中点，M为AE中点
∴AF∥NM
∴∠NME=∠FAE=90︒
∴MN⊥AE
变式：在原来的条件下，如图3，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30︒连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果。
解析：
探索比值即是求数量关系（但这题有点坑，不是整数倍, 千万不要凭直觉），就可能要运用线段的和差倍分以及勾股定理。有多个中点可以想到中位线，直角三角形斜边中线以及倍长中线构造全等三角形。
答案：
证明过程：
延长DM到G使MG=MD，连接AG，EC交于点F
在△AMG和△EMD中
∴△AMG≌△EMD(SAS)
∴AG=DE=EC,∠GAM=∠DEM
∴AG∥DE
∴∠F+∠DEC=180︒
∴∠F=180︒-∠DEC=90︒
∴∠FAC+∠ACF=90︒
∵∠BCD+∠ACF=180︒-∠ACB-∠DCE=90︒,
∠BCD=30︒
∴∠FAC=∠BCD=30︒,∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=120︒
∴∠BAG=∠BAC+∠CAF=120︒
∴∠BAG=∠ACE
在△ABG和△CAE中
∴△ABG≌△CAE(SAS)
∴BG=AE
∵BN=ND,DM=MG
∴BG=AE=2MN
设BC=2x
∴AC==
,CD=DE=EC=x
∵∠FAC=30︒
∴CF=AC=
x
∴AF==
x, EF=FC+CE=
x
∴AE==
x
∴MN=AE=
x
∴
总结：
- 解题步骤：
①审题（不要忽视任何一个条件，因为通常不会有多余的条件）；
②有需要时添加辅助线（非常重要的一步，加错了就没办法做下去。 当然，一般情况下有多种加法）；
③思考并解题。
- 注意事项
①辅助线的添加是否有误（比如，不能同时满足多个条件，不一定在同一直线上，或其他不可行的作法）；
②当存在多余条件时，要多留个心眼，看看是否有哪一步做错了，或者审错了题。
（3）与中点有关的辅助线，一般为这四类：
①倍长中线
②三线合一（等腰三角形）
③斜边中线（直角三角形）
④中位线