首先感谢Duan2baka大佬，给我讲的非常透彻，大家如果没看懂我写的可以看一下他的—>点这里

概念

咱们先来了解~~一些非常重要的概念~~（好吧其实我只是凑字，但了解一下也是很好的）

FFT

多项式函数

卷积

大家可能会想，这三个毫不相干的概念有什么联系呢？

其中，多项式乘法可以用卷积来表示。

事实上，在oi中，卷积都可以用FFT优化。

下面我们来看一下，FFT是怎么优化卷积的（为了方便起见，我们探究多项式乘法）

暴力

大家应该都会，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加（初中时背的滚瓜烂熟）

用式子可以表示为

其中

是卷积的常见形式，大家以后如果看见这样的柿子就不要多想，尽情地FFT吧

好了，我相信大家O（）的算法都会，我就不多说了，下面我要讲的是O（）的优化

预备知识

复数

话不多说，直接上

补充一下，

复数是无序的，但也有四则运算，

~~大家这么聪明，我相信都会~~

那好吧，就讲一下

每个复数都可以表示成为复平面上的一个点（也可以说是一个向量）

其中与x轴的夹角称为福角

到x轴距离称为模长

先来一张图

同时，复数的运算法则和实数是一样的（：那你还说一大堆废话干什么：）

但是！复数的乘法却有其独特的意义

我们设复数z1=a1+b1*i，z2=a2+b2*i

所以z1*z2=(a1+b1*i)*(a2+b2*i)

展开后就变成了 a1*a2-b1*b2+(a1*b2+a2*b1)*i

根据复数在复平面上的意义可知

复数*复数，模长相乘，幅角相加

单位根

一个复数W，满足,那么我们就说w是n次单位根，记作，

（特别提醒一下，表示第k个单位根，我学的时候纠结半天）

易证n次单位根共有n个

那么我们看一下4次单位根在复平面上的表示

8次单位根

此处借用duan2baka大佬两张图

很好，你们现在可以想一下三角函数。是不是很像？

so，我们有了两个重要的定理

注意负号

解释一下，第一个就是左右等式分单位圆的比例是一样的

第二个左右等式关于原点对称

很好，这两个定理对后面推结论很有帮助

多项式的表达方法

系数表达法

就是平时数学写的，在此不赘述

点值表达法

我们把n+1不同个点带入n次多项式，得到点集S={p1,p2,...,pn+1}，这个点集就是多项式的点值表达法。

为什么要学点值表达法？

当两个多项式相乘时，设这两个多项式的点集分别为S1，S2

如果S1，S2中代入的点的横坐标全部相同，那么我们就可以把这些纵坐标乘起来作为新多项式的点

而点值相乘时间复杂度是O（n）的，这样我们就可以快速相乘。但是我们需要把n+1个点带入，这个的时间复杂度是O的，我们需要找一种能在更短时间内求出n个点值的方法

下面进入正题

FFT

FFT有三个过程，求值（DFT），相乘，插值（IDFT）

我们先来看求值

当然，我们可以代入任何n+1个值，但是我们需要加速乘法，就需要寻找n+1个之间有关系的值代入，这样看看能不能简化运算

推公式时间到

设A(X)为多项式，则

此处再次借用duan2推导（我打不出来这种公式）

我们发现，知道A0和A1，我们就能推出A（）和A（），我们称其为蝴蝶变换

所以一直递归下去就好了，时间复杂度O（n log n )

注意由于最后是按奇偶分类，所以我们的多项式需要补齐到位，补齐的位系数为0就可以了

但我们发现，递归时间复杂度太大，所以我们有了迭代的写法

我们先看一下递归是怎么进行的

我们发现，在递归的最后，被放在了它二进制颠倒的位置

所以我们先求出最后一行，再往上迭代

二进制翻转rader代码如下

void rader(Complex* a,int len)
{
	int j=len>>1;
	for(int i=1;i<len-1;i++)
	{
		if(i<j)swap(a[i],a[j]);
		int k=len>>1;
		while(j>=k)
		{
			j-=k;
			k>>=1;
		}
		if(j<k)j+=k;
	}
}

不懂的—> 传送门

迭代写法

void fft(Complex* a,int len,int on)
{
	rader(a,len);
	for(int ll=2;ll<=len;ll*=2)
	{
		double ang=on*2*PI/ll;
		Complex wn(cos(ang),sin(ang));
		for(int i=0;i<len;i+=ll)
		{
			Complex w(1.0,0.0);
			for(int j=i;j<i+ll/2;j++)
			{
				Complex u=a[j];
				Complex t=w*a[j+ll/2];
				a[j]=u+t;
				a[j+ll/2]=u-t;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(on==-1)
	{
		for(int i=0;i<len;i++)
		a[i].real/=len;
	}
}

细心的同学可能发现了，这里面的on很奇怪，这就是我们讲的下一个内容——插值

插值

证明

我们发现，只要把换成，就是对虚部取相反数，结果再除以len，就相当于插值了（这太好了）