LIS的暴力算法
我们知道，LIS（最长上升子序列，最长下降子序列，最长不上升子序列，最长不下降子序列）如果按照最初得方法做，我们设置的状态f[i]表示i结尾的最长LIS的长度，在枚举每一个数的时候都要向前找一个数字，那么这种方法是O(n^2).（具体讲解看这里）
优化后的LIS
如果N≤700000呢？O（n^2）的算法显然是不符合要求的，我们可以考虑优化LIS的DP
我们以最长上升子序列为例：
我们设f[i]为长度为i的最长上升子序列结尾的最小个数.
那么，我们在枚举新的数字a[i]的时候,如果a[i]要比枚举的f[j]大，则说明以a[i]结尾必然能够形成长度为j+1的最长上升子序列.我们可以选择来模拟这个过程.
设这串序列为｛2,1,6,5,8,0,1,5,10｝
1.因为没有数字，f[]={2}
2.因为1比2小，1无法接在任何数字后面，所以替代2，f[]={1}
3.因为6比任何一个数都要大，所以接在最前面，f[]={1,6}
4.5可以接在1后面并且比6要小，以此代替6，f[]={1,5}
5.因为8比任何数要大，接在末尾，f[]={1,5,8}
6.0比任何数都要小，所以f[]={0,5,8}
7.1可以接在0后面，所以f[]={0,1,8}
8.5可以接在8后面，所以f[]={0,1,5}
9.10可以接在5后面，所以f[]={0,1,5,10}
因为f[4]不为0，说明可以构成长度为4的最长上升子序列，故答案为4
为什么我们要在新的数字要是f[]数组内的原有值最小？因为这样更可以让后面的数字构成最长上升组序列.因此我们需要在这个序列中查找，找到一个位置使得前面的数比它小并且后面的数字大于等于它，使得它能够覆盖这个数字.那么，这个算法的时间复杂度仍然后O(n^2)，显然无法优化.
不难发现，这个序列是单调递增的，那么我们便可以选择在查找的时候去优化，在单调递增的序列中我们可以需用二分查找去寻找那个可以覆盖的位置，而二分查找的时间复杂度是O(lgn),再加上枚举1-n的时间复杂度，故总复杂度为：O(n)*O(logn)=O(nlogn),显然可以做到.
再重新说一下大致思路：
1.枚举a[1…n]这些数字
2.如果这个数组比f数组末尾的数子要大，说明不能覆盖任何一个数字，则放在最后
3.否则，用二分查找进行查询位置并进行覆盖.
同理，另外3中LIS也可以实现.
有一个需要注意的地方，那就是：如果做上升的和不下降的LISf[0]需要赋值为-∞，否则赋值为+∞，我在这里用pow(10,9)(即10的9次方的意思)在进行f[0]的初始化.因为可能会出现负数
LIS模板题
有N个整数，输出这N个整数的最长上升序列、最长下降序列、最长不上升序列和最长不下降序列。
根据上述分析，我们应该十分容易就能够写出最后的程序，四个序列的代码基本相似
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[800000];
int f[800000];
void Lis1()
{
memset(f,0,sizeof(f));
int len=0,pos;f[0]=-pow(10,9);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i]>f[len]) f[++len]=a[i];
else
{
int L=1,R=len,Mid;
while (L+1<R)
{
Mid=(L+R)>>1;
if (a[i]>f[Mid]) L=Mid;
else R=Mid;
}
if (a[i]>f[L]) pos=R;
else pos=L;
f[pos]=min(f[pos],a[i]);
}
}
cout<<len<<endl;
}
void Lis2()
{
memset(f,0,sizeof(f));
int len=0,pos;f[0]=pow(10,9);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i]<f[len]) f[++len]=a[i];
else
{
int L=1,R=len,Mid;
while (L+1<R)
{
Mid=(L+R)>>1;
if (a[i]<f[Mid]) L=Mid;
else R=Mid;
}
if (a[i]<f[L]) pos=R;
else pos=L;
f[pos]=max(f[pos],a[i]);
}
}
cout<<len<<endl;
}
void Lis3()
{
memset(f,0,sizeof(f));
int len=0,pos;f[0]=pow(10,9);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i]<=f[len]) f[++len]=a[i];
else
{
int L=1,R=len,Mid;
while (L+1<R)
{
Mid=(L+R)>>1;
if (a[i]<=f[Mid]) L=Mid;
else R=Mid;
}
if (a[i]<=f[L]) pos=R;
else pos=L;
f[pos]=max(f[pos],a[i]);
}
}
cout<<len<<endl;
}
void Lis4()
{
memset(f,0,sizeof(f));
int len=0,pos;f[0]=-pow(10,9);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i]>=f[len]) f[++len]=a[i];
else
{
int L=1,R=len,Mid;
while (L+1<R)
{
Mid=(L+R)>>1;
if (a[i]>=f[Mid]) L=Mid;
else R=Mid;
}
if (a[i]>=f[L]) pos=R;
else pos=L;
f[pos]=min(f[pos],a[i]);
}
}
cout<<len<<endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
Lis1();
Lis2();
Lis3();
Lis4();
return 0;
}