Planar data classification with one hidden layer

建立你的第一个神经网络，它将有一个隐藏层。

你将学到如何：

实现具有单个隐藏层的2级分类神经网络。
使用具有非线性激活功能的单位，例如tanh。
计算交叉熵损失。
实现前向和后向传播。

1 - 包

numpy是使用Python进行科学计算的基础包。
sklearn为数据挖掘和数据分析提供简单有效的工具。
matplotlib是一个用Python绘制图形的库。
testCases提供了一些测试示例来评估函数的正确性
planar_utils提供此分配中使用的各种有用功能。

# Package imports
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from testCases import *
import sklearn
import sklearn.datasets
import sklearn.linear_model
from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets

%matplotlib inline

np.random.seed(1) # set a seed so that the results are consistent

2 - 数据集

首先，让我们获取您将要处理的数据集。以下代码将“花”2级数据集加载到变量X和Y中。

X, Y = load_planar_dataset()

使用matplotlib可视化数据集。数据看起来像一个“花”，有一些红色（标签y = 0）和一些蓝色（y = 1）点。您的目标是构建适合此数据的模型。

# Visualize the data:
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral);

你有：
- 包含特征的numpy-array（矩阵）X（x1，x2）
- 包含标签的numpy-array（向量）Y（红色：0，蓝色：1）。

练习：你有多少训练样例？另外，变量X和Y的形状是什么？

提示：你如何得到一个numpy数组的形状？

### START CODE HERE ### (≈ 3 lines of code)
shape_X = X.shape
shape_Y = Y.shape
m = shape_X[1]  # training set size
### END CODE HERE ###

print ('The shape of X is: ' + str(shape_X))
print ('The shape of Y is: ' + str(shape_Y))
print ('I have m = %d training examples!' % (m))

3 - 简单的Logistic回归

在构建完整的神经网络之前，让我们先看看逻辑回归如何解决这个问题。您可以使用sklearn的内置函数来执行此操作。运行以下代码以在数据集上训练逻辑回归分类器。

# Train the logistic regression classifier
clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV();
# clf.fit(X.T, Y.T);
clf.fit(X.T, Y.T.ravel());

您现在可以绘制这些模型的决策边界。运行以下代码。

# Plot the decision boundary for logistic regression
plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x), X, Y)
plt.title("Logistic Regression")

# Print accuracy
LR_predictions = clf.predict(X.T)
print ('Accuracy of logistic regression: %d ' % float((np.dot(Y,LR_predictions) + np.dot(1-Y,1-LR_predictions))/float(Y.size)*100) +
       '% ' + "(percentage of correctly labelled datapoints)")

解释：数据集不是线性可分的，因此逻辑回归效果不佳。希望神经网络能做得更好。我们现在试试吧！

4 - 神经网络模型

Logistic回归在“花卉数据集”上效果不佳。您将使用单个隐藏层训练神经网络。

这是我们的模型：

提醒：构建神经网络的一般方法是：

定义神经网络结构（输入单元数，隐藏单元数等）。
初始化模型的参数。
循环：

实施前向传播。
计算损失。
实现向后传播以获得渐变。
更新参数（梯度下降）。

您经常构建辅助函数来计算步骤1-3，然后将它们合并到一个我们称为nn_model（）的函数中。一旦构建了nn_model（）并学习了正确的参数，就可以对新数据进行预测。

4.1 - 定义神经网络结构

练习：定义三个变量：

n_x：输入图层的大小
n_h：隐藏层的大小（设置为4）
n_y：输出图层的大小

提示：使用X和Y的形状来查找n_x和n_y。此外，硬编码隐藏层大小为4。

# GRADED FUNCTION: layer_sizes

def layer_sizes(X, Y):
    """
    Arguments:
    X -- input dataset of shape (input size, number of examples)
    Y -- labels of shape (output size, number of examples)

    Returns:
    n_x -- the size of the input layer
    n_h -- the size of the hidden layer
    n_y -- the size of the output layer
    """
    ### START CODE HERE ### (≈ 3 lines of code)
    n_x = X.shape[0] # size of input layer
    n_h = 4
    n_y = Y.shape[0] # size of output layer
    ### END CODE HERE ###
    return (n_x, n_h, n_y)

X_assess, Y_assess = layer_sizes_test_case()
(n_x, n_h, n_y) = layer_sizes(X_assess, Y_assess)
print("The size of the input layer is: n_x = " + str(n_x))
print("The size of the hidden layer is: n_h = " + str(n_h))
print("The size of the output layer is: n_y = " + str(n_y))

4.2 - 初始化模型的参数

练习：实现函数initialize_parameters（）。

说明：

确保参数尺寸合适。如果需要，请参阅上面的神经网络图。
您将使用随机值初始化权重矩阵。
使用：np.random.randn（a，b）* 0.01随机初始化形状矩阵（a，b）。
您将偏置向量初始化为零。
使用：np.zeros（（a，b））用零初始化形状（a，b）的矩阵。

# GRADED FUNCTION: initialize_parameters

def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
    """
    Argument:
    n_x -- size of the input layer
    n_h -- size of the hidden layer
    n_y -- size of the output layer

    Returns:
    params -- python dictionary containing your parameters:
                    W1 -- weight matrix of shape (n_h, n_x)
                    b1 -- bias vector of shape (n_h, 1)
                    W2 -- weight matrix of shape (n_y, n_h)
                    b2 -- bias vector of shape (n_y, 1)
    """

    np.random.seed(2) # we set up a seed so that your output matches ours although the initialization is random.

    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = np.random.randn(n_h, n_x) * 0.01
    b1 = np.zeros((n_h, 1))
    W2 = np.random.randn(n_y, n_h) * 0.01
    b2 = np.zeros((n_y, 1))
    ### END CODE HERE ###

    assert (W1.shape == (n_h, n_x))
    assert (b1.shape == (n_h, 1))
    assert (W2.shape == (n_y, n_h))
    assert (b2.shape == (n_y, 1))

    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}

    return parameters

n_x, n_h, n_y = initialize_parameters_test_case()

parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

4.3 - 循环

问题：实现forward_propagation（）。

说明：

查看分类器的数学表示。
-您可以使用函数sigmoid（）。它内置（导入）在笔记本中。
-您可以使用函数np.tanh（）。它是numpy的一部分。
-您必须实施的步骤是：

使用参数[“..”]从字典“参数”（这是initialize_parameters（）的输出）中检索每个参数。
实施前向传播。计算Z [1]，A [1]，Z [2]和A [2]（训练集中所有例子的所有预测的向量）。

反向传播所需的值存储在“缓存”中。缓存将作为反向传播函数的输入给出。

# GRADED FUNCTION: forward_propagation

def forward_propagation(X, parameters):
    """
    Argument:
    X -- input data of size (n_x, m)
    parameters -- python dictionary containing your parameters (output of initialization function)

    Returns:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2"
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###

    # Implement Forward Propagation to calculate A2 (probabilities)
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = np.tanh(Z1)
#     A1 = sigmoid(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
#     A2 = np.tanh(Z2)
    A2 = sigmoid(Z2)
    ### END CODE HERE ###

    assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))

    cache = {"Z1": Z1,
             "A1": A1,
             "Z2": Z2,
             "A2": A2}

    return A2, cache

X_assess, parameters = forward_propagation_test_case()

A2, cache = forward_propagation(X_assess, parameters)

# Note: we use the mean here just to make sure that your output matches ours. 
print(np.mean(cache['Z1']) ,np.mean(cache['A1']),np.mean(cache['Z2']),np.mean(cache['A2']))

logprobs = np.multiply(np.log(A2),Y)
cost = - np.sum(logprobs)                # no need to use a for loop!

（您可以使用np.multiply（）然后使用np.sum（）或直接使用np.dot（））。

# GRADED FUNCTION: compute_cost

def compute_cost(A2, Y, parameters):
    """
    Computes the cross-entropy cost given in equation (13)

    Arguments:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
    parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2

    Returns:
    cost -- cross-entropy cost given equation (13)
    """

    m = Y.shape[1] # number of example

    # Compute the cross-entropy cost
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply(np.log(1-A2), (1-Y))
    cost = -1/m*np.sum(logprobs)
    ### END CODE HERE ###

    cost = np.squeeze(cost)     # makes sure cost is the dimension we expect. 
                                # E.g., turns [[17]] into 17 
    assert(isinstance(cost, float))

    return cost

A2, Y_assess, parameters = compute_cost_test_case()

print("cost = " + str(compute_cost(A2, Y_assess, parameters)))

使用在前向传播期间计算的缓存来实现向后传播。

问题：实现函数backward_propagation（）。

说明：反向传播通常是深度学习中最难（最数学）的部分。为了帮助您，这里再次是关于反向传播的演讲的幻灯片。您将要使用此幻灯片右侧的六个等式，因为您正在构建向量化实现。

# GRADED FUNCTION: backward_propagation

def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
    """
    Implement the backward propagation using the instructions above.

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing our parameters 
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2".
    X -- input data of shape (2, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)

    Returns:
    grads -- python dictionary containing your gradients with respect to different parameters
    """
    m = X.shape[1]

    # First, retrieve W1 and W2 from the dictionary "parameters".
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]
    ### END CODE HERE ###

    # Retrieve also A1 and A2 from dictionary "cache".
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    A1 = cache["A1"]
    A2 = cache["A2"]
    ### END CODE HERE ###

    # Backward propagation: calculate dW1, db1, dW2, db2. 
    ### START CODE HERE ### (≈ 6 lines of code, corresponding to 6 equations on slide above)
    dZ2 = A2 - Y    # (n_y,1)
    dW2 = 1 / m * np.dot(dZ2, A1.T)   # (n_y, 1) .* (1, n_h)
    db2 = 1 / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
    dZ1 = np.dot(W2.T, dZ2) *  (1 - np.power(A1, 2))
    dW1 = 1 / m * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = 1 / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
    ### END CODE HERE ###

    grads = {"dW1": dW1,
             "db1": db1,
             "dW2": dW2,
             "db2": db2}

    return grads

parameters, cache, X_assess, Y_assess = backward_propagation_test_case()

grads = backward_propagation(parameters, cache, X_assess, Y_assess)
print ("dW1 = "+ str(grads["dW1"]))
print ("db1 = "+ str(grads["db1"]))
print ("dW2 = "+ str(grads["dW2"]))
print ("db2 = "+ str(grads["db2"]))

问题：实施更新规则。使用渐变下降。您必须使用（dW1，db1，dW2，db2）才能更新（W1，b1，W2，b2）。

一般梯度下降规则：，其中α是学习率，θ表示参数。

# GRADED FUNCTION: update_parameters

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2):
    """
    Updates parameters using the gradient descent update rule given above

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters 
    grads -- python dictionary containing your gradients 

    Returns:
    parameters -- python dictionary containing your updated parameters 
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###

    # Retrieve each gradient from the dictionary "grads"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    dW1 = grads["dW1"]
    db1 = grads["db1"]
    dW2 = grads["dW2"]
    db2 = grads["db2"]
    ## END CODE HERE ###

    # Update rule for each parameter
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 -= learning_rate * dW1
    b1 -= learning_rate * db1
    W2 -= learning_rate * dW2
    b2 -= learning_rate * db2
    ### END CODE HERE ###

    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}

    return parameters

parameters, grads = update_parameters_test_case()
parameters = update_parameters(parameters, grads)

print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

4.4 - 在nn_model（）中集成部件4.1,4.2和4.3

问题：在nn_model（）中构建神经网络模型。

说明：神经网络模型必须按正确的顺序使用以前的功能。

# GRADED FUNCTION: nn_model

def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 10000, print_cost=False):
    """
    Arguments:
    X -- dataset of shape (2, number of examples)
    Y -- labels of shape (1, number of examples)
    n_h -- size of the hidden layer
    num_iterations -- Number of iterations in gradient descent loop
    print_cost -- if True, print the cost every 1000 iterations

    Returns:
    parameters -- parameters learnt by the model. They can then be used to predict.
    """

    np.random.seed(3)
    n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
    n_y = layer_sizes(X, Y)[2]

    # Initialize parameters, then retrieve W1, b1, W2, b2. Inputs: "n_x, n_h, n_y". Outputs = "W1, b1, W2, b2, parameters".
    ### START CODE HERE ### (≈ 5 lines of code)
    parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###

    # Loop (gradient descent)

    for i in range(0, num_iterations):

        ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
        # Forward propagation. Inputs: "X, parameters". Outputs: "A2, cache".
        A2, cache = forward_propagation(X, parameters)

        # Cost function. Inputs: "A2, Y, parameters". Outputs: "cost".
        cost = compute_cost(A2, Y, parameters)

        # Backpropagation. Inputs: "parameters, cache, X, Y". Outputs: "grads".
        grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)

        # Gradient descent parameter update. Inputs: "parameters, grads". Outputs: "parameters".
        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2)

        ### END CODE HERE ###

        # Print the cost every 1000 iterations
        if print_cost and i % 1000 == 0:
            print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))

    return parameters

X_assess, Y_assess = nn_model_test_case()

parameters = nn_model(X_assess, Y_assess, 4, num_iterations=10000, print_cost=False)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

4.5预测

问题：使用模型通过构建predict（）进行预测。使用前向传播来预测结果。

例如，如果您想根据阈值将矩阵X的条目设置为0和1：X_new =（X> threshold）

# GRADED FUNCTION: predict

def predict(parameters, X):
    """
    Using the learned parameters, predicts a class for each example in X

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters 
    X -- input data of size (n_x, m)

    Returns
    predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
    """

    # Computes probabilities using forward propagation, and classifies to 0/1 using 0.5 as the threshold.
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
    predictions = (A2 > 0.5)
    ### END CODE HERE ###

    return predictions

parameters, X_assess = predict_test_case()

predictions = predict(parameters, X_assess)
print("predictions mean = " + str(np.mean(predictions)))

是时候运行模型并查看它在平面数据集上的表现。运行以下代码以使用个隐藏单元的单个隐藏层测试模型。

# Build a model with a n_h-dimensional hidden layer
parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations = 10000, print_cost=True)

# Plot the decision boundary
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))

# Print accuracy
predictions = predict(parameters, X)
print ('Accuracy: %d' % float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100) + '%')

与Logistic回归相比，准确度非常高。该模型已经了解了花的叶子图案！与逻辑回归不同，神经网络能够学习甚至高度非线性的决策边界。

现在，让我们试试几个隐藏的图层大小。

4.6 - 调整隐藏层大小（可选/未分级练习）

运行以下代码。可能需要1-2分钟。您将观察模型对各种隐藏图层大小的不同行为。

# This may take about 2 minutes to run

plt.figure(figsize=(16, 32))
hidden_layer_sizes = [1, 2, 3, 4, 5, 10, 20]
for i, n_h in enumerate(hidden_layer_sizes):
    plt.subplot(5, 2, i+1)
    plt.title('Hidden Layer of size %d' % n_h)
    parameters = nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 5000)
    plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
    predictions = predict(parameters, X)
    accuracy = float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100)
    print ("Accuracy for {} hidden units: {} %".format(n_h, accuracy))

解释：

较大的模型（具有更多隐藏单元）能够更好地适应训练集，直到最终最大的模型过度拟合数据。
最好的隐藏层大小似乎在n_h = 5左右。实际上，这里的值似乎很好地适合数据而不会引起明显的过度拟合。
您稍后还将学习正则化，它允许您使用非常大的模型（例如n_h = 50）而不会过度拟合。

可选问题：

当您更改sigmoid激活或ReLU激活的tanh激活时会发生什么？
使用learning_rate播放。怎么了？
如果我们更改数据集怎么办？（见下文第5部分！）

5）其他数据集的性能

如果需要，可以为以下每个数据集重新运行整个笔记本（减去数据集部分）。

# Datasets
noisy_circles, noisy_moons, blobs, gaussian_quantiles, no_structure = load_extra_datasets()

datasets = {"noisy_circles": noisy_circles,
            "noisy_moons": noisy_moons,
            "blobs": blobs,
            "gaussian_quantiles": gaussian_quantiles}

### START CODE HERE ### (choose your dataset)
dataset = "noisy_circles"
### END CODE HERE ###

X, Y = datasets[dataset]
X, Y = X.T, Y.reshape(1, Y.shape[0])

# make blobs binary
if dataset == "noisy_moons":
    Y = Y%2

# Visualize the data
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral);

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