16 根据$n$%3等于 0,1,2列三个方程然后计算出$a,b,c$的值，$a=1,b=\frac{w-1}{3},c=-\frac{w+2}{3}$
17 $\sum_{0\leq k<m}[x+\frac{k}{m}]$
$=\sum_{j,k}[0\leq k<m][1\leq j \leq x+\frac{k}{m}]$
$=\sum_{j,k}[0\leq k<m][1\leq j \leq \left \lceil x \right \rceil]-\sum_{k}[0\leq k <m(\left \lceil x \right \rceil-x)]$
$=m\left \lceil x \right \rceil-\left \lceil m(\left \lceil x \right \rceil-x) \right \rceil$
$=\left \lfloor mx \right \rfloor$
18 $S=\sum_{0\leq j <\left \lceil n\alpha \right \rceil}\sum_{k\geq n}[j\alpha^{-1}\leq k <(j+v)\alpha^{-1}]$
(1)如果$j\leq n\alpha -1\leq n\alpha -v\rightarrow (j+v)\alpha^{-1}\leq n$，那么此时$S=0$
（2）所以现在只需要考虑$j=\left \lfloor n\alpha \right \rfloor$。由于$j\alpha^{-1}=\frac{\left \lfloor n\alpha \right \rfloor}{\alpha}<n$所以$S=\sum [n\leq k<(\left \lfloor n\alpha \right \rfloor+v)\alpha^{-1}]=\left \lceil (\left \lfloor n\alpha \right \rfloor+v)\alpha^{-1} \right \rceil-n=\left \lceil n-\Delta +v\alpha^{-1} \right \rceil-n\leq \left \lceil v\alpha^{-1} \right \rceil$,其中$\Delta >0$
19 首先若$b$不是整数，那么等式在$x=b$时一定不成立。若$b$为整数，则$log(b)$取整数时必定有$x$为整数。那么根据公式$3.10$,恒成立。
20 $x\sum_{k}k[\left \lceil \frac{\alpha}{x} \right \rceil\leq k \leq \left \lfloor \frac{\beta}{x} \right \rfloor]=\frac{x(p+q)(q-p+1)}{2}$
其中$p=\left \lceil \frac{\alpha}{x} \right \rceil,q=\left \lfloor \frac{\beta}{x} \right \rfloor$
21 如果$10^{n}\leq 2^M <10^{n+1}$,那么有$n+1$个$m$满足要求。假设$n=4,M=15$,那么满足要求的有$2^{0}=1,2^{4}=16,2^{7}=128,2^{10}=1024,2^{14}=16384$.所以答案为$1+\left \lfloor Mlog_{10}^{2} \right \rfloor$
22 假设$n=2^{t-1}q$，其中$q$为奇数。那么当$k=t$时，$\left \lfloor \frac{n}{2^{t}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\frac{q+1}{2},\left \lfloor \frac{n-1}{2^{t}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\frac{q-1}{2}$.
如果$k\neq t$，$\left \lfloor \frac{n}{2^{k}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n-1}{2^{k}}+\frac{1}{2} \right \rfloor$
所以$S_{n}=S_{n-1}+1,T_{n}=T_{n-1}+2^{k}q=T_{n-1}+2n$,所以$S_{n}=n,T_{n}=n(n+1)$
23 假设第$n$个数字是$t$，那么$[1,t-1]$一共有$\frac{t(t-1)}{2}$个数字，所以$\frac{t(t-1)}{2}<n\leq \frac{t(t+1)}{2}\leftrightarrow t^{2}-t<2n\leq t^{2}+t$,进而得到$ t^{2}-t+\frac{1}{4}<2n< t^{2}+t+\frac{1}{4}\leftrightarrow t-\frac{1}{2}<\sqrt{2n}<t+\frac{1}{2}\leftrightarrow \sqrt{2n}-\frac{1}{2}<t<\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\Rightarrow t=\left \lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right \rfloor$