jzoj 4015. 【雅礼联考DAY01】数列 数论

Description

Input

一行，六个整数，分别表示 x0, a, b, c, n, m。

Output

一行，一个整数，表示 xn mod m 的值。

Sample Input

1 1 1 1 5 1000000000

Sample Output

133904603

Data Constraint

分析：
前35%数据，直接暴力枚举即可，复杂度$O(n)$。

另外35%数据，我们发现对$m$取模余数不同的数只有$m$个，一旦出现了一个相同的数就出现循环节，即可通过。注意循环节不一定从$x_0$开始，前面的一些数可能没有循环，要先减去。复杂度$O(m)$。

最后30%数据，有

$$x_i={ax_{i-1}}^2+bx_{i-1}+c$$
根据二次函数相关知识，化为顶点式，
$$x_i=a(x_{i-1}+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$
由题意得， $4ac-b^2=-2b$，得
$$x_i=a(x_{i-1}+\frac{b}{2a})^2-\frac{2b}{4a}$$
移项得，
$$x_i+\frac{b}{2a}=a(x_{i-1}+\frac{b}{2a})^2$$
假设数列 $T$，有 $T_i=x_i+\frac{b}{2a}$，上式为，
$$T_i={aT_{i-1}}^2$$
两边同时乘 $a$，得
$$aT_i=(aT_{i-1})^2$$
那么，
$$aT_n=(aT_0)^{2^n}$$
得，
$$x_n=a^{2^n-1}*(x_0+\frac{b}{2a})^{2^n}-\frac{b}{2a}$$
因为 $m$是质数，可以对指数模 $m-1$。
复杂度 $O(logn)$

其实考场上觉得$m$这个条件很重要，对$T$想用原根了，其实也是可以做的，可以把乘法变为指数加法，设$a=g^c$，那么每次相当于把指数乘2再加c，矩阵加速递推就可以了，这样复杂度是$O(sqrt(n)+log n)$。然后一开始没取模直接gg了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=1e7+7;

using namespace std;

LL x,a,b,c,n,p,k;
LL A[maxn],B[maxn];

LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=ksm(x,y/2,p);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&b,&c,&n,&p);
    LL t=b/(2*a);
    x%=p; a%=p; b%=p; c%=p;
    if (n<=1e7)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++) x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
        printf("%lld",x);
    }
    else
    {
        if (p<=1e6)
        {
            A[0]=x;
            B[x]=0;
            for (int i=1;i<=n;i++)
            {
                x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
                if (B[x]!=0)
                {       
                    k=i-B[x];           
                    break;
                }
                A[i]=x;
                B[x]=i;
            }
            n=(n-B[x])%k+B[x];
            printf("%lld",A[n]);
        }
        else
        {
            LL d=ksm(2,n,p-1);
            LL s=((d-1)+(p-1))%(p-1);
            LL ans=(ksm(a,s,p)*ksm((x+t)%p,d,p)%p+p-t)%p;
            printf("%lld",ans);
        }
    }
}