CodeForces 76 F.Tourist（LIS）

Description

一位游客在 $0$ 时刻位于 $x$ 轴原点处，在 $t_i$ 时刻 $x_i$ 位置会有表演，游客的速度不超过 $v$ ，问游客最多可以看到多少场表演，若游客起点任意，问最多可以看多少场表演

Input

第一行一整数 $n$ 表示表演数量，之后 $n$ 行每行输入两个整数 $t_i,x_i$ 表示第 $i$ 场表演的时间和位置，最后输入一整数 $v$ 表示游客的最大速度

$(1\le n\le 10^5,-2\cdot 10^8\le x_i\le 2\cdot 10^8,1\le t_i\le 2\cdot 10^6,1\le v\le 1000)$

Output

输出两个整数分别表示游客起点在原点和起点固定时可以看到的最多表演场数

Sample Input

3
-1 1
42 7
40 8
2

Sample Output

1 2

Solution

若看完 $i$ 表演后是否可以看 $j$ 表演，显然 $t_j\ge t_i$ 且 $|x_j-x_i|\le v\cdot (t_j-t_i)$ ，进而有

$-x_i+v\cdot t_i\le -x_j+v\cdot t_j,x_i\le x_j$

$x_i+v\cdot t_i\le x_j+v\cdot t_j,x_i>x_j$

注意以上两式显然可以推导出 $t_i\le t_j$ ，故看完 $i$ 表演可以继续看 $j$ 表演等价于以上两式成立，进而以 $-x_i+v\cdot t_i,x_i+v\cdot t_i$ 为两个键值来表示第 $i$ 个表演，问题即变成求这 $n$ 个二元组的递增子序列，那么我们按一个键值排序后即变成普通的 $LIS$ ，而对于起点固定的情况，只需对合法表演做 $LIS$ 即可，所谓合法指的是从原点可以赶到该地，也即 $|x_i|\le v\cdot t_i$ ，这意味着 $-x_i+v\cdot t_i,x_i+v\cdot t_i$ 均非负

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll>P;
#define p first
#define q second
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
P a[maxn];
ll dp[maxn];
int n,x[maxn],t[maxn],v;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&t[i]);
    scanf("%d",&v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].p=-x[i]+(ll)t[i]*v;
        a[i].q=x[i]+(ll)t[i]*v;
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=INF;
    dp[0]=-INF;
    int l1=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i].q>=dp[l1])dp[++l1]=a[i].q;
        else dp[upper_bound(dp,dp+n+1,a[i].q)-dp]=a[i].q;
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=INF;
    dp[0]=-INF;
    int l2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i].p>=0&&a[i].q>=0)
        {
            if(a[i].q>=dp[l2])dp[++l2]=a[i].q;
            else dp[upper_bound(dp,dp+n+1,a[i].q)-dp]=a[i].q;
        }
    printf("%d %d\n",l2,l1);
    return 0;
}

CodeForces 76 F.Tourist（LIS）

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