bzoj2064分裂

题目大意：
给定一个初始集合和目标集合，有两种操作：1.合并集合中的两个元素，新元素为两个元素之和 2.分裂集合中的一个元素，得到的两个新元素之和等于原先的元素。要求用最小步数使初始集合变为目标集合，求最小步数。

其中初始集合和目标集合的元素个数都不超过10个

这是一道非常值得纪念的好题

首先一看到这个数据范围，第一反应就是状压dp了

我们首先这么考虑

如果说直接暴力的合并和分裂的话，最多需要的次数是 $n+m-2$ 次，那么我们是不是可以在这个基础上进行优化呢。举个例子来看 $1,5,7,2$ –> $2,4,3,6$ 那么我们完全可以把 $1,5$ 单独处理，不用将他们再跟 $2,7$ 合并了，也不用额外的删除，那么这样其实就是相当于分组了。

那我们对于整体的集合，分成几个小集合，每个小集合内部又可以做同样的优化，这不就是dp的最优子结构吗

假设初始和目标都可以分成k组，那么答案应该就是 $n-m-2\times k$ 了这里应该没有问题吧。

我们令 $f[i][j]$ 表示初始集合中选择的元素集合是 $i$ ,目标集合是 $j$ 的分成的组数的最大值

对于 $f[i][j]$ 我们先令他等于能转移到 $f[i][j]$ 的状态中的最大值，如果当前的 $sa[i]==sb[j]$ 那么就说明他可以自己单独成一组，就可以++

但这里其实有一个问题就是，当 $i$ 和 $j$ 的 $sum$ 不相同的时候，其实也有可能会++但是我们不考虑，这里有一种理解方式，是的，实际上就是因为这中间存在很多状态的合成，我们把无用的合成的状态忽略，却不会忽略用来合成它的状态，所以最后答案不会遗漏最优情况，换句话说，可以理解为就是每个不相等的情况一定可以被不相等到相等再到不相等。其实本质是一样的

直接看代码吧

感觉这个题还是不太好理解呀

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 11;

int n,m;
int sa[1 << maxn],sb[1 << maxn];
int f[1 << maxn][1 << maxn];
int a[maxn],b[maxn];

int counta(int x)
{
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (x & (1 << (i-1))) cnt+=a[i];
    return cnt;
}

int countb(int x)
{
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    if (x & (1 << (i-1))) cnt+=b[i];
    return cnt;
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
  m=read();
  for (int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
  for (int i=1;i<(1 << n);i++) sa[i]=counta(i);
  for (int i=1;i<(1 << m);i++) sb[i]=countb(i);
  for (int i=1;i<(1 << n);i++)
    for (int j=1;j<(1 << m);j++)
    {
        for (int k =1;k<=n;k++)
        {
            int p = 1 << (k-1);
            if (p&i) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-p][j]);
        }
        for (int k=1;k<=m;k++)
        {
            int p = 1 << (k-1);
            if (p&j) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-p]);
        }
        if (sa[i]==sb[j]) f[i][j]++;
    }
  printf("%d",n+m-2*f[(1<<n)-1][(1<<m)-1]);
  return 0;
}

猜你喜欢