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电阻性电路分析
声明：本学习笔记中的部分图片来自于王丽华老师的PPT，感想王老师~~
第二章 电阻电路的等效变换
2-1 等效电路
- 如果有两个电路N1、N2，其内部结构不同，但从端口看，它们的电压、电流关系相同，则称它们是相互等效的电路，即N1与N2对外电路的影响是相同的。
- 两个电路相互等效是指其对外伏安关系相同，而内部结构并不相同；
- 两个电路相互等效是有条件的。条件不同时等效电路一般不同；
- 在同样的条件下，等效电路的形式也不是唯一的；
- 电路进行等效变换的目的是为了简化电路以方便地求解未知量。
2-2 电阻的串联、并联和混联
电阻的串联：电流相等，等效电阻为所有电阻之和
各个电阻的电压的分压公式：
\[ u_k=R_ki=\frac{R_k}{R_eg}U（R_eg表示等效电阻） \]
各个分电压是总电压的一部分，成线性关系
分压与阻值成正比
各分电压的方向与总电压的方向在巡行回路方向上相反
电阻的并联：各并联元件的等效电阻为电导之和的倒数
各个电阻的电流为：
\[ i_k=G_ku=\frac{G_k}{G_eq}i （G表示电导） \]
由分流公式可知，
\[ i_k∝G_k\ 或\ i_k∝1/R_k \]
混联电阻计算：
- 可以由串并联方法逐步计算
- 一般串联电路用电阻计算较为方便，并联电路用电导计算较为方便
- 电路在几何对称的情况下，首先找等电位点再化简
平衡电桥、改装电表
2-3 Y-△连接变换
在复杂电路中有一种无源三端电路，如图所示，其中图(a)为△形连接，称为△形电路，图(b)为Y形连接，称为Y形电路。△形电路或Y形电路通常是复杂电路中的一部分 对这种电路直接进行求解是比较麻烦的。而在一定条件下，它们之间可以相互进行等效变换，经过变换之后并不影响电路中未经变换部分的电压和电流，但可以用串并联的方法求其等效电阻，从而大大简化了电路的计算。
△形和Y形电路都是通过三个端钮与外部相连，两者之间的等效变换应满足外部特性不变的原则，即必须使两种电路的任意对应端加相同的电压时，流经任一对应端的电流也相同，也就是必须使任意两对应端间的电阻相等。具体表现为当第三个端钮断开时，两种电路汇总每一对相对应的端钮键的总电阻应当相等。
△形电路变换为等效Y形电路应该满足
\[ \left\{\begin{aligned}R_1+R_2=\frac{R_{12}(R_{23}+R_{31})}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\R_2+R_3=\frac{R_{23}(R_{12}+R_{31})}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\R_3+R_1=\frac{R_{31}(R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{aligned}\right. \]解得：
\[ \left\{\begin{aligned}R_1=\frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\R_2=\frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\R_3=\frac{R_{23}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{aligned}\right. \]
可概括为：
\[ R_Y=\frac{△形中相邻两电阻的乘积}{△形中电阻之和} \]
Y形电路变换为等效△形电路应该满足的条件与△形电路变换成Y形电路相同
解得：
\[ \left\{\begin{aligned}R_{12}=R_1+R_2+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{3}}\\R_{23}=R_2+R_3+\frac{R_{3}R_{2}}{R_{1}}\\R_{31}=R_3+R_1+\frac{R_{3}R_{1}}{R_{2}}\end{aligned}\right. \]
可概括为：
\[ R_△=\frac{Y形中两两电阻的乘积之和}{Y形中对面的电阻} \]若Y形电路或△形电路的三个电阻均相等时，则两种电路中各自的电阻均相等，且有
\[ \left\{\begin{aligned}R_△&=3R_Y\\R_Y&=\frac{1}{3}R_△\end{aligned}\right. \]
2-4 实际电源的两种模型
电源模型：
电压源
电压源和电阻串联，对图(a)，根据KVL有：
\[ U=U_S-R_{SU}I \ \ \ \ \ \ \ ① \]
电流源
电流源和电阻并联，对图(b)，根据KCL有：
\[ I=I_S-\frac{U}{R_{SI}} \ \ \ \ \ \ \ ② \]
两种电源相互等效的条件：
特性曲线重合
伏安特性方程相同
即(由①②两式联立得)：
\[ \left\{\begin{aligned}Us=IsR_s' &或 Is=Us/Rs\\Rs&=R_s'\end{aligned}\right. \]注：
- 电压源的极性与电流源的方向之间的关系在等效前后不能变
- 理想电压源与理想电流源之间不可等效变换
- 电源模型等效变换的推广：理想电压源与电阻串联的含源支路可等效为理想电流源与电阻并联的含源支路，反之亦然。
凡是与理想电压源并联的元件，在求其他支路电压、电流时不起作用，可视为开路
凡是与理想电流源串联的元件，在求其他支路电压、电流时不起作用，可视为短路
2-5 含源电路的串并联
- 含独立电源支路的串并联
- VS串联：新电源的电压为串联电源电压之和
- CS并联：新电源的电流为并联电压电流之和
- VS并联：两电源电压相同时新电源与任一电源等同，两电源电压不同时不存在
- CS串联：两电源电流相同时新电源与任一电源等同，两电源电流不同时不存在
- R-VS串联：扩大电源的电阻，输出电压变小
- R-CS并联：减小电源的电阻，输出电流变大
- R-VS并联：可将恒压电源改装成恒流电源
- R-CS串联：可将恒流电源改装成恒压电源
- 含受控源支路的串并联
- 可以通过与独立电源相似的等效变换化简
- 必须保留受控源的控制变量支路
2-6 输入电阻和等效电阻
- 一个二端无源网络No，其端口处的电压与电流之比称之为该无源网络的输入电阻
- 如果一个二端无源网络No的输入电阻为Rin，则可用一个与其相等的电阻去等效这个二端无源网络，该电阻称为等效电阻Req.
- 解题时尽可能先按照电源的等效转换化简电路