CF 997B Roman Digits

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题目大意

现在规定罗马数字只有 $4$ 个字符：I、V、X、L，分别代表 $1$、$5$、$10$、$50$。规定：一个罗马数字的值为该数字包含的字符代表的数字之和，而与字符的顺序无关（这与实际情况是不一样的！）。

问一个长度为 $n$ 的罗马数字可以有多少种不同的值。显然答案不会超过 $50 n$，所以不对任何数取模。

$n \le 10^9$。

思路

考虑生成函数。最 Naive 的想法是：求 $(x + x^5 + x^{10} + x^{50})^n$ 有多少系数非 $0$ 项，显然不可做。

注意到，$5 \times 1 + 1 \times 50 = 1 \times 5 + 5 \times 10​$，就是说五个 $1​$ 加上一个 $50​$ 等于一个 $5​$ 加上五个 $10​$。如果不存在这个结论，即如果一个长度为 $n​$ 的罗马数字的值只对应一个四元组 $(x_1, x_5, x_{10}, x_{50})​$，那么答案显然为 $\mathrm{C}_{n + 4 - 1}^{4 - 1}​$（我靠洛谷垃圾翻译把 L 写成 $100​$）。

考虑 $5 \times 1 + 1 \times 50$ 或者 $1 \times 5 + 5 \times 10$。我们规定这种相等的只能取前者，也就是说 $x_5 \ge 1$ 和 $x_{10} \ge 5$ 不能同时成立。那么考虑分 $x_5 = 0$ 和 $x_5 \ge 1$ 两种情况讨论。当 $x_5 = 0$ 时，剩下三种随便选，对答案的贡献为 $\mathrm{C}_{n + 2}^2$。当 $x_5 \ge 1$ 时，我们首先枚举 $x_5$ 选了多少个，然后枚举 $x_{10}$ 选了多少个，这一部分的方案数为：

$$\sum_{x_5 = 1} \sum_{x_{10} = 0}^{4} \mathrm{C}_{n - x_5 - x_{10} + 1}^{1}$$

$$\sum_{x_5 = 1} \sum_{x_{10} = 0}^{4} (n - x_5 - x_{10} + 1) \cdot [n - x_5 - x_{10} \ge 0]$$

然后妥妥地错掉了……那肯定是还有东西算重了，看看还有没有相等的情况。

果然有：$9 \times 5 = 5 \times 1 + 4 \times 10$……那么我们同样规定只能出现一侧的值。由于现在有些混乱，因此我们重新做一次……

---

现在有：

$$5 \times 1 + 1 \times 50 = 1 \times 5 + 5 \times 10$$

$$9 \times 5 = 5 \times 1 + 4 \times 10$$

这样好了，我们规定第一个等式的右边必须化为左边，第二个等式的左边必须化为右边，则下面两个式子必须不成立：

$$x_5 \ge 1 \text{ 且 } x_{10} \ge 5$$

$$x_5 \ge 9$$

那么现在 $x_5$ 必须在 $0$ 到 $8$ 中选一个，我们用同样的思路去做：当 $x_5 = 0$ 时，贡献还是 $\mathrm{C}_{n + 2}^{2}$；当 $x_5 \ge 1$ 时，我们就不用考虑等差数列了，直接枚举 $x_5$ 和 $x_{10}$ 即可。

然后妥妥地错掉了……那肯定还有东西算重了，看看还有没有相等的情况。

果然有：$8 \times 5 + 1 \times 50 = 9 \times 10$……我也是醉了，那就让右边化为左边，这样的话就要满足三个式子始终不成立：

$$x_5 \ge 1 \text{ 且 } x_{10} \ge 5$$

$$x_5 \ge 9$$

$$x_{10} \ge 9$$

还是枚举这两个，这下跑就对了。

参考代码

我去哦三行代码写了一个上午。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <list>
#include <functional>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
typedef LL INT_PUT;
INT_PUT readIn()
{
    INT_PUT a = 0; bool positive = true;
    char ch = getchar();
    while (!(ch == '-' || std::isdigit(ch))) ch = getchar();
    if (ch == '-') { positive = false; ch = getchar(); }
    while (std::isdigit(ch)) { a = a * 10 - (ch - '0'); ch = getchar(); }
    return positive ? -a : a;
}
void printOut(INT_PUT x)
{
    char buffer[20]; int length = 0;
    if (x < 0) putchar('-'); else x = -x;
    do buffer[length++] = -(x % 10) + '0'; while (x /= 10);
    do putchar(buffer[--length]); while (length);
}

int n;

void run()
{
    n = readIn();
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 8 && i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= (i ? 4 : 8) && i + j <= n; j++)
            ans += n + 1 - i - j;
    printOut(ans);
}

int main()
{
    run();
    return 0;
}

总结

比赛时肯定打表啊！当 $n \ge 12$ 时，答案呈线性增长（观察代码，显然），打表真是轻松……

关键是发现问题后没有及时找到问题（显然是还有算重的情况，但是没有及时找到一组新的）。可能这种问题不是很好避免，所以比赛时最好先写暴力，然后用暴力拍，发现问题后再及时改。不过这样可能时间又不够了……