CF1373E Sum of Digits

网上的好多题解没有看懂，题解中的一些"显然"的结论也觉得完全不显然…

我们如果枚举这个数列的第一个数字的个位，那么，如果存在这个数列的话，是一定可以构造出这个数列的。（因为k<=9，所以数列长度<=10，最多只会进位一次）

1.当这个数列不存在进位的时候，且第一个数的最后一位为now时，就可以表示为：a+now，a+now+1，a+now+2, … ,a+now+k。（其中，因为不进位，所以now+k<=9，而a则表示他们相同的 最高位到十位）

对于这种情况，知道now，k和n后，就能够求得了。

	if (now+k<=9)
		{
    
    
			int last=n-(now*(k+1)+(1+k)*k/2);
			if (last<0 || last%(k+1)!=0) continue;
			last/=(k+1);
			int num=now,bin=1;
			while (last)
			{
    
    
				bin*=10;
				if (last>=9) last-=9,num=bin*9+num;
				else num=bin*last+num,last=0;
			}
			ans=min(ans,num);
		}

2.当这个数列存在进位时，该怎么求呢？

有一篇题解这样写到：

最后我们只要判断那些x+k>9的数需要进位。
处理很简单只要把倒数第二位填8（避免了进位）。
再倒着贪心填9即可。

但是我一直不懂为什么可以这样贪心。这样贪心的最优性，是可以理解的，但是正确性，一直不理解，也不会证明，该如何保证这样填，一定可以覆盖到所有的情况呢？

我们先设：第一个数的最高位到十位，为a，最后一个数的最高位到十位，为b。(a+1=b，因为是进位过后了)

那么，对于数位的和，a和b之间有什么关联呢？

如果a和b之间没有进位，那么sum(a)+1=sum(b)。

如果有进位，那么a的最后若干位肯定是连续的9，当最后有i个连续的9时，sum(a)-i*9+1=sum(b)。

所以我们可以再枚举最后有多少个连续的9，这个得到数列的第一个数。

有同学可能会问，为什么要枚举最后有多少个连续的9，这不是也是结论吗？不也没有证明吗？

尽量多填9，这应该是显然的吧？但是我们不确定，填了几个9以后，是否一定有相应的数列存在，所以我们枚举9的个数。

else
		{
    
    
			int l=now; int len1=9-l+1;
			int r=(k+1)-len1-1; int len2=r-0+1;  
			//没有进位时的个位表示为：now-->9 ; 
			//进位后的个位表示为：0-->len2
			int last=n-(now*len1+(0+len1-1)*len1/2);
			if (last<0) continue;
			last=last-(0+r)*(r+1)/2;
			if (last<0) continue;
			
			for (register int i=0; i<=17; ++i)
			{
    
    
				int lastt=last+len2*9*i-len2;
				//由进位时，sum(a)-i*9+1=sum(b)得到
				//我们就把这个-i*9+1加回去，这样求得的答案就是第一个数的 最高位到十位了 
				if (lastt%(len1+len2)!=0) continue;
				lastt/=(len1+len2);
				if (lastt<9*i) continue;
				
				int num=now,bin=1;
				for (register int j=1; j<=i; ++j) 
				{
    
    
					bin*=10;
					lastt-=9;
					num=bin*9+num;
				}
				//一段连续的9以后，如果剩下的数位和还是比9大，那么我们是不可以填9了
				//不然就不满足枚举i个9的要求了
				//尽管这样的情况出现后可能是不最优解，但是是不是最优解这个问题
				//我们可以继续枚举9的个数，让下一次循环操作来判断即可。
				//所以我们这里要插入一个8
				//在插入8之后，那么就是尽量多的多填9就好了。 
				if (lastt>=8)
				{
    
    
					bin*=10;
					lastt-=8;
					num=bin*8+num;
					while (lastt)
					{
    
    
						bin*=10;
						if (lastt>=9) lastt-=9,num=bin*9+num;
						else num=bin*lastt+num,lastt=0;	
					}
				}
				else
				{
    
    
					bin*=10;
					num=bin*lastt+num,lastt=0;
				}
				ans=min(ans,num);
			}
		}

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int T,n,k,ans;

inline void solve()
{
    
    
	ans=1e18;
	for (register int now=0; now<=9; ++now)
	{
    
    
		if (now+k<=9)    //不进位时 
		{
    
    
			int last=n-(now*(k+1)+(1+k)*k/2);
			if (last<0 || last%(k+1)!=0) continue;
			last/=(k+1);
			int num=now,bin=1;
			while (last)
			{
    
    
				bin*=10;
				if (last>=9) last-=9,num=bin*9+num;
				else num=bin*last+num,last=0;
			}
			ans=min(ans,num);
		}
		else
		{
    
    
			int l=now; int len1=9-l+1;
			int r=(k+1)-len1-1; int len2=r-0+1;  
			//没有进位时的个位表示为：now-->9 ; 
			//进位后的个位表示为：0-->len2
			int last=n-(now*len1+(0+len1-1)*len1/2);
			if (last<0) continue;
			last=last-(0+r)*(r+1)/2;
			if (last<0) continue;
			
			for (register int i=0; i<=17; ++i)
			{
    
    
				int lastt=last+len2*9*i-len2;
				//由进位时，sum(a)-i*9+1=sum(b)得到
				//我们就把这个-i*9+1加回去，这样求得的答案就是第一个数的 最高位到十位了 
				if (lastt%(len1+len2)!=0) continue;
				lastt/=(len1+len2);
				if (lastt<9*i) continue;
				
				int num=now,bin=1;
				for (register int j=1; j<=i; ++j) 
				{
    
    
					bin*=10;
					lastt-=9;
					num=bin*9+num;
				}
				//一段连续的9以后，如果剩下的数位和还是比9大，那么我们是不可以填9了
				//不然就不满足枚举i个9的要求了
				//尽管这样的情况出现后可能是不最优解，但是是不是最优解这个问题
				//我们可以继续枚举9的个数，让下一次循环操作来判断即可。
				//所以我们这里要插入一个8
				//在插入8之后，那么就是尽量多的多填9就好了。 
				if (lastt>=8)
				{
    
    
					bin*=10;
					lastt-=8;
					num=bin*8+num;
					while (lastt)
					{
    
    
						bin*=10;
						if (lastt>=9) lastt-=9,num=bin*9+num;
						else num=bin*lastt+num,lastt=0;	
					}
				}
				else
				{
    
    
					bin*=10;
					num=bin*lastt+num,lastt=0;
				}
				ans=min(ans,num);
			}
		}
	}
	if (ans==1e18) puts("-1");
	else printf("%lld\n",ans);
}

signed main(){
    
    
	scanf("%lld",&T);
	while (T--)
	{
    
    
		scanf("%lld%lld",&n,&k);
		solve();
	}
return 0;	
}